Discuter:Lemme de Gauss (polynômes)

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Cet article provient d'une subdivision d'un article intitulé à l'origine lemme de Gauss, maintenant subdivisé en lemme de Gauss (polynômes) et lemme de Gauss (théorie des nombres), ce dernier ayant conservé l'historique pertinent. --Cgolds 7 novembre 2007 à 15:23 (CET)

Désolée, je viens de découvrir la procédure correcte. Je place le bandeau adéquat ! --Cgolds 10 novembre 2007 à 21:39 (CET)

[modifier] preuve d'après ancienne version

Voici le texte de la preuve dans l'ancienne version: <Dans le cas d'une variable, il existe une démonstration simple de ceci. Considérons un nombre premier p, et essayons de montrer que R mod p (c.a.d. R avec les coefficients réduits au corps des résidus modulo p) n'est pas 0. En fait, le degré de R mod p est la somme de ceux de P mod p et de Q mod p, qui est plus qu'assez, parce que nous travaillons dans un corps.

Une conséquence importante est que R peut seulement se factoriser comme un produit de polynômes avec des coefficients en nombres rationnels, si cela est déjà effectué dans les polynômes entiers. On peut voir ceci en vérifiant les puissances d'un nombre premier fixé p nécessaire pour réduire les dénominateurs ; le même argument marche comme précédemment, et cette version peut aussi être appelée le lemme de Gauss. Il s'applique au théorème des racines rationnelles.

Il existe une généralisation à plusieurs variables.>