Lemme de Gauss (théorie des nombres)

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Un lemme de Gauss est utilisé en théorie des nombres dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité quadratique ^[1].

Pour n'importe quel nombre impair p, soit a un entier qui est relativement premier à p.

On considère les entiers

$a, 2a, 3a, \dots, \frac{(p-1)}{2}a$

et leurs plus faibles résidus modulo m.

Soit n le nombre de ces résidus qui sont plus grands que p/2. Alors

$\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^n$

où $\left(\frac{a}{p}\right)$ est le symbole de Legendre.

Ceci peut, par exemple, être appliqué immédiatement quand a = −1, donnant

$\frac{(p-1)}{2}$

D'un point de vue plus sophistiqué, ceci est un cas de transfert.

[modifier] Preuve

Une preuve assez simple de ce lemme peut etre déduite du principe utilisé pour la démonstration du petit théorème de Fermat. Pour cela, évaluons le produit suivant:

$Z = a \cdot 2a \cdot 3a \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2 a$

modulo p de 2 manières différentes.

Premièrement, ce produit vaut:

$Z = a^{(p-1)/2} \left(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2 \right)$

Le second calcul est plus délicat. Si x est un résidu non nul modulo p, définissions la "valeur absolue" de x comme

$|x| = \begin{cases} x & \mbox{if } 1 \leq x \leq \frac{p-1}2, \\ -x & \mbox{if } \frac{p+1}2 \leq x \leq p-1. \end{cases}$

Comme n dénombre les multiples ka se trouvant dans le second intervalle, et que pour ces multiples, −ka se trouve dans le premier intervalle, on a:

$Z = (-1)^n \left(|a| \cdot |2a| \cdot |3a| \cdot \cdots \cdots \left|\frac{p-1}2 a\right|\right).$

Maintenant, observons que les valeurs |ra| sont distinctes pour r = 1, 2, ..., (p−1)/2. En effet, si |ra| = |sa|, alors ra = ±sa, et donc r = ±s (parce que a est inversible modulo p), sonc r = s car car ils appartiennent tous 2 a l'intervalle 1 ≤ r ≤ (p−1)/2. Mais il y en a exactement (p−1)/2, donc cette séquence représente une permutation des entiers 1, 2, ..., (p−1)/2. On obtient