Intégrale de Dirichlet

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L' intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs

$\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$

Il s'agit d'une intégrale impropre convergente, c'est-à-dire que la fonction n'est pas intégrable au sens généralisé de Riemann, mais $\lim_{X \to +\infty} \int_0^{X}\frac{\sin(x)}{x}\,dx$ existe.

Sommaire

1 Preuve
2 Calcul de l'intégrale de Dirichlet
- 2.1 Avec des suites
- 2.2 Avec le théorème des résidus

[modifier] Preuve

On considère la fonction : $\begin{matrix}f: & \mathbb{R}_{+}^{*}& \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \frac{\sin(x)}{x}\ \\\end{matrix}$

On a $\lim_{0^{+}} f = 1\$ , donc $f$ est prolongeable par continuité en 0.

Montrons que cette fonction n'est pas intégrable : on considère, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la suite : $u_n = \int_{n \pi} ^{(n+1) \pi} |f(x)|\,dx = \int_{n \pi} ^{(n+1) \pi} \frac{| \sin(x) |}{x}dx$ .

Le changement de variables $t = x - n π$ donne $u_n = \int_{0} ^{\pi} \frac{| \sin(t + n \pi) |}{t + n \pi}dt$ .

On peut alors écrire : $u_n \geq \frac{1}{(n+1)\pi}\int_{0} ^{\pi} \sin(t)dt = \frac{2}{(n+1) \pi}$ .

On en déduit : $\forall N \in \mathbb{N} , \int_0^{N \pi}\frac{| \sin(x)|}{x}\,dx = \sum_{n=0} ^{N-1} u_n \geq \frac{2}{\pi} \sum_{n=1} ^N \frac{1}{n}$ , or cette série est la série harmonique, qui diverge.

La fonction $f$ n'est donc pas intégrable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ .

Montrons maintenant que $\lim_{X \to +\infty} \int_0^{X} f(x)dx$ existe.

On a $\int_0^{X} f(x)dx = \int_0^{X} \frac{1}{x} \sin(x)dx$ .

Une intégration par parties, avec $u(x) = \frac{1}{x} , v'(x)= \sin(x)$ , puis en prenant $u'(x) = - \frac{1}{x^2} , v(x)=1- \cos(x)$ , permet d'écrire, abusivement : $\int_0^{X} f(x)dx = \left[ \frac{1- \cos(x)}{x} \right] _{0}^{X} + \int_{0}^{X} \frac{1- \cos(x)}{x^2} dx$ .

L'abus vient du fait que $x \mapsto \frac{1- \cos(x)}{x}$ n'est pas défini en 0. Cependant, comme on a en 0 : $1- \cos(x) \sim \frac{x^2}{2}$ , on écrit : $\int_0^{X} f(x)dx = \frac{1- \cos(X)}{X} + \int_{0}^{X} \frac{1- \cos(x)}{x^2} dx$ .

De plus, comme on a $\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$ et $\forall x \geq 0 , \left| \frac{1- \cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{2}{x^2}$ , on en déduit donc que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1- \cos(x)}{x^2} dx$ converge.

Avec $\lim_{X \to +\infty} \frac{1- \cos(X)}{X}=0$ , on en conclut que $\lim_{X \to +\infty} \int_0^{X} f(x)dx$ existe.

[modifier] Calcul de l'intégrale de Dirichlet

[modifier] Avec des suites

Posons, pour $x \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right]$ , la fonction $g(x)= \frac{1}{x}- \frac{1}{\sin(x)}$ .

Comme on a en 0 : $sin(x)˜ x$ et $\sin(x) - x \sim -\frac{x^3}{6}$ , on a donc, toujours en 0 : $g(x) \sim -\frac{x}{6}$ .

La fonction g est donc continue sur sur $\left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right]$ , et prolongeable par continuité en 0.

On considère maintenant la suite d'intégrales $J_n = \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left ( ( 2n+1) x \right)}{\sin(x)} dx$ .

Comme $\lim_{x \to 0} \frac{\sin \left((2n+1)x \right)}{\sin(x)}=2n+1$ , la suite $\left( J_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.

De plus, remarquons que $\forall n \in \mathbb{N} , \sin \left((2n+1) x \right) - \sin \left((2n-1) x \right) = 2 \sin(x) \cos(2nx)$ .

On en tire alors $J_n - J_{n-1} = 2 \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \cos (2nx) dx = 0$ .

La suite $J n$ est donc constante, et $\forall n \in \mathbb{N} , J_n = J_0 = \frac{\pi}{2}$ .

On considère maintenant la suite d'intégrales $K_n = \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left ( ( 2n+1) x \right)}{x} dx$ .

Comme $\lim_{x \to 0} \frac{\sin \left((2n+1)x \right)}{x}=2n+1$ , la suite $\left( K_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.

Le changement de variables $t = (2 n + 1) x$ donne $K_n = \int_{0} ^{(2n+1) \frac{\pi}{2}} \frac{\sin (t)}{t} dt$ .

On en déduit alors $\lim_{n \to +\infty} K_n = \int_{0} ^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$ .

On a : $\forall n \in \mathbb{N} , K_n - J_n = \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}} g(x) \sin \left((2n+1) x \right) dx$ .

On a vu que la fonction g est continue sur $\left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right]$ , donc par le lemme de Riemann-Lebesgue, $\lim_{n \to +\infty} \left(K_n - J_n \right) = 0$ .

On en conclut : $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$ .

[modifier] Avec le théorème des résidus

En remarquant que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty} ^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx =\frac{1}{2} Im \left(\int_{-\infty} ^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x}\,dx \right )$ , et en considérant la fonction complexe $z \mapsto \frac{e^{iz}}{z}$ , le théorème des résidus donne directement le résultat voulu.