Discuter:Intégrale curviligne

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A expliciter un peu plus... Et il faut définir les notations utilisées.

Une intro en français serait aussi bien pour expliquer ce qu'est une intégrale curviligne conceptuellement.

[modifier] j'ai viré les valeurs absolues.

Me semble pas utile. Les autres wiki n'en mettent pas non plus. HDDTZUZDSQ 30 juin 2006 à 11:10 (CEST)

Et c'est cohérent avec la deuxième formule, où il n'est pas question de norme non plus. HDDTZUZDSQ 30 juin 2006 à 11:14 (CEST)

sur en: il y a une différence entre champ scalaire et champ vectoriel. L'intégrale d'un champ scalaire est un scalaire, donc il faut remettre la norme (et pas une valeur absolue de toute façon). Par exemple la longueur d'un arc est de ce type et se calcule bien avec une norme.

L'intégrale d'un champ vectoriel se fait avec un produit scalaire, et donne encore un nombre (d'ailleurs en maths c'est surtout cette dernière qu'on appelle intégrale curviligne à mon avis ?). Peps 30 juin 2006 à 16:01 (CEST)

[modifier] et bien il faudrait les remettre

Et bien les normes, il serait urgent de les remmettre. Quant à l'explication selon laquelle, elle ne figurait pas sur d'autres pages, elle n'a pas valeur de preuve mathématique. Le but de l'intégrale curviligne est de définir une intégrale indépendante du paramétrage de la courbe. Cette indépendance doit pouvoir être garantie par un changement de variable faisant passer d'une paramétrisation à une autre. L'égalité est donc obtenue si le rapport entre des normes des vecteurs vitesse (associés à chaque paramétrage) est égal à celui entre les élément différentiels des paramètres.

Octo

là je ne vois pas. Il y a trois formules

1. la définition dans le cadre complexe
2. la définition dans le cadre vectoriel pour un champ scalaire
3. idem pour un champ vectoriel

à laquelle ces remarques s'appliquent-elles ?

J'avais signalé que la norme manquait pour le deuxième cas, et l'avais rajoutée. Mais pour les deux autres, il n'y en a pas : la définition de l'intégrale curviligne dépend de l'orientation choisie sur la courbe, elle est invariante par changement de paramétrage orienté. Mais si on renverse le sens de parcours, elle est changée en son opposé. Ainsi le travail d'une force en physique est il égal à la circulation le long du chemin : si on fait le trajet en sens inverse, le travail est l'opposé. Peps 2 février 2007 à 10:39 (CET)

[modifier] Je comprends un peu mieux où se situe le problème.

Il me semble qu'il y a plusieurs choses à dire:

- Pour la circulation, il est clair qu'elle se définit comme l'intégrale le long d'une courbe du produit scalaire entre le champs vectoriel considéré et dl. Le mot circulation est parfaitement explicite.

- Je conviens sans difficulté que l'invariance de l'intégrale selon la paramétrisation est assurée dans les trois formules proposées (ce qui ne me semblait pas clair au départ mais je n'avais pas regardé en détail). Le problème néanmoins ne vient pas de là. Les deux définitions données (complexe et champs scalaire) sont cohérentes une à une mais pas l'une vis à vis de l'autre. Je m'explique:

Si on me demande de calculer l'intégrale curviligne de la fonction à valeur réelle de deux variables réelles f(x,y) le long d'un arc paramétré allant du point (x(0),y(0)) au point (x(1),y(1)) dois-je m'attendre à un résultat vectoriel (parce que l'élément infinitesimal dl est un vecteur ou parce qu'en écrivant la fonction f comme une fonction définie sur les complexes, j'obtiens un résultat complexe)? ou alors dois-je m'attendre à un résultat réel (parce que l'élement infinitésimal dl est une distance). Prenons le cas de l'intégrale curviligne de la constante 1 sur le segment allant d'un point A à un point B, donne-t-elle le vecteur AB (ce que donne la formule sans norme) ou bien sa norme? Si je prends la définition dans le cadre complexe, le résultat est la différence des affixes de A et B. Si je prends la définition dans le cadre "champs scalaire", le résultat est la distance entre les deux points A et B. D'un point de vue mathématique, le résultat de l'une et de l'autre des définitions est parfaitement clair (et différent). Il me semble donc qu'il puisse y avoir une ambiguïté si on hésite entre le cadre "complexes" et le cadre "analyse vectorielle". ça me paraît un peu génant et nécessite quelques précisions car sans regarder de plus près, il y a risque de confusion (telle que j'en ai été victime ce matin ce dont je vous prie de m'excuser)

Octo

aucune raison de vous excuser ! mieux vaut un surcroît de prudence et de vérification. En fait j'aurais tendance à dire que l'objet mathématique signifiant est l'intégrale d'une forme linéaire ou, dans le cadre euclidien, d'un champ de vecteurs (ou d'une fonction à valeurs complexes par l'identification affixe - vecteur). Ces champs scalaires, mis ici pour ne pas froisser les physiciens, compliquent la lecture plus qu'autre chose : ils sont invariants par renversement d'orientation alors que les autres sont vraiment algébrisés. Il faudrait peut-être exiler ces champs scalaires dans une section à part Peps 2 février 2007 à 22:06 (CET)