Identités logarithmiques
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Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.
Sommaire |
[modifier] Valeurs particulières
[modifier] Multiplication, division et exponentiation
Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.
Formules de G. G. Gendre:
- pour a > b
- pour a > b
Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement log(a + b) en fonction de log(a) et log(b) en évitant des dépassements des limites numériques.
[modifier] Réciprocité
- pour tout nombre réel r, loga(ar) = r
Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.
[modifier] Changement de base
Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart des ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux et naturels.
Cette formule découle simplement du rapport constant lors du changement de base.
Hypothèse :
- (changement de base à gauche)
- (changement de base de logca)
- (multiplication par l'inverse)
- (simplification des logac)
- (simplification de logaa)
∎CQFD
[modifier] Limites
- pour a > 1
- pour 0 < a < 1
- pour a > 1
- pour 0 < a < 1
- pour b rationnel positif
- pour b rationnel positif
La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».
[modifier] Dérivée
Dans le cas particulier de la base e :