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[modifier] Tentative de restructuration

En repompant des éléments de l'article anglais Schtong 16 mars 2007 à 17:20 (CET)

[modifier] Rang

Il faudrait clarifier ce que veut dire la notion d'indépendance linéaire, quand on est dans un groupe, et pas dans un espace vectoriel. Ensuite, je peux imaginer pourquoi le groupe des entiers est de rang 1, mais pour les rationnels, je ne vois pas. Une démonstration? PierreL (d) 11 janvier 2008 à 11:38 (CET)

Si x=p/b et y=q/b sont deux rationnels, écrits avec même dénominateur, alors ils admettent la relation de dépendance linéaire qx-py=0. Cela dit, je n'interviens pas sur l'article, n'étant pas très sûr des terminologies pour les groupes de type infini. Salle (d) 11 janvier 2008 à 13:04 (CET)

Je n'ai jamais vu un auteur employr cette terminologie et cette notion du fait de son ambiguité. Si par exemple l'on prend Z/6Z d'après l'article le rang est de deux. Mais certains objecteraient que la famille {1} est une base au même titre que {2,3} et que dire que c'est celle de cardinal maximal qui compte, c'est quelquechose de trop subjectif. Je pense que l'on devrait retirer cette section ou l'agrémenter de bcp de remarques pour les raison su-citées. Noky (d) 11 janvier 2008 à 14:07 (CET)

Z/6Z est de torsion : aucune famille n'est libre, et il est de rang 0. Plus généralement, dans le cadre des groupes abéliens de type fini, le rang est bien défini, et  : c'est le plus grand entier r tel que Z^r s'injecte dans le groupe. Salle (d) 11 janvier 2008 à 14:24 (CET)

On n'a pas la même définition de libre, mais bon ce n'est pas grave. Ok maintenant je comprends ce qu'il veut dire par rang. Il parle de rang pour les groupes libres et dans ce cas là oui ça me rappelle des choses. Mais peut-être peut-on faire le lien avec le rang du groupe en tant que -module. Noky (d) 11 janvier 2008 à 17:24 (CET)

Oui, c'est ça : le rang d'un groupe abélien, c'est le rang en tant que Z-module (au moins en type fini). Salle (d) 11 janvier 2008 à 17:35 (CET)