Formule de Jensen

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La formule de Jensen (d'après le mathématicien Johan Jensen) est un résultat d'analyse complexe qui décrit le comportement d'une fonction analytique sur un cercle par rapporte aux modules des zéros de cette fonction. Elle est d'une aide précieuse pour l'étude des fonctions entières.

L'énoncé est le suivant:

Soit f est une fonction analytique sur une région du plan complexe contenant un disque fermé D de centre 0 et soit a_1, a_2,\dots,a_n les zéros de f dans D, comptés avec leur multiplicité. Si f(0)\ne 0, alors
\log |f(0)| = -\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{r}{|a_k|}\right)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(re^{i\theta})|d\theta.

Cette formule établit un lien entre les modules des zéros contenus dans un disque | z | < r et les valeurs de | f(z) | sur le cercle | z | = r, et peut être vu comme une généralisation des propriétés de valeurs moyennes des fonctions harmoniques. La formule de Jensen peut en revanche être généralisée aux fonctions méromorphes: c'est le théorème de Poisson-Jensen.

[modifier] Références

  • Complex Analysis, John M. Howie, Springer-Verlag
  • Complex Analysis, L. V. Ahlfors, McGraw-Hill, 1979, ISBN 0-07-000657-1