Forme bilinéaire symétrique

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Une forme bilinéaire symétrique est le nom donné à une forme bilinéaire sur un espace vectoriel qui est symétrique. Les formes bilinéaires symétriques jouent un rôle important dans l'étude des quadriques.

Sommaire

1 Définition
2 Représentation matricielle
3 Orthogonalité et singularité
4 Bases orthogonales
5 Voir aussi
6 Références

[modifier] Définition

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ . Une application $B : V\times V\rightarrow \mathbb{K}:(u,v)\mapsto B(u,v)$ est une forme bilinéaire symétrique sur l'espace si:

$\forall (u,v) \in V^2\quad B(u,v)=B(v,u)\$
$\forall (u,v,w) \in V^3 \quad B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\$
$\forall \lambda \in K,\forall (v,w) \in V^2 \quad B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\$

Remarque: Les deux derniers axiomes impliquent seulement la linéarité par rapport à la « première variable » mais le premier permet d'en déduire la linéarité par rapport à la « deuxième variable ».

[modifier] Représentation matricielle

Soit $C=(e_{1},\ldots,e_{n})$ une base d'un espace vectoriel $V$ . Définissons la matrice d'ordre $n$ $A$ par $a i j = B (e i, e j)$ . La matrice $A$ est symétrique d'après la symétrie de la forme bilinéaire. Si la matrice de type $(n,1)$ $x$ représente les coordonnées d'un vecteur $v$ par rapport à cette base, et de façon analogue $y$ représente les coordonnées d'un vecteur $w$ , alors $B (v, w)$ est égal à :

t x A y = t y A x .

Supposons que $C'=(e'_{1}, \ldots, e'_{n})$ soit une autre base de $V$ , considérons la matrice de passage (inversible) $S$ d'ordre $n$ de la base $C$ à la base $C'$ . Maintenant dans cette nouvelle base la représentation matricielle de la forme bilinéaire symétrique est donnée par

A' = t S A S .

[modifier] Orthogonalité et singularité

Une forme bilinéaire symétrique est toujours réflexive. Par définition, deux vecteurs $v$ et $w$ sont orthogonaux pour la forme bilinéaire $B$ si $B (v, w) = 0$ , ce qui, grâce à la réflexivité, est équivalent à $B (w, v) = 0$ .

Le noyau d'une forme bilinéaire $B$ est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout autre vecteur de $V$ . Il est facile de vérifier qu'il est un sous-espace de $V$ . Lorsque nous travaillons avec une représentation matricielle de $A$ relativement à une certaine base, un vecteur $v$ représenté par sa matrice colonne des coordonnées $x$ , appartient au noyau si et seulement si

$A x=0 \Longleftrightarrow {}^t x A=0.$

La matrice $A$ est non inversible ou singulière si et seulement si le noyau de $B$ est non réduit au singleton vecteur nul, c'est-à-dire non trivial.

Si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ , alors $W^{\perp}$ , l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à tout vecteur de $W$ est aussi un sous-espace de $V$ . Lorsque le noyau de $B$ est trivial, la dimension de $W^{\perp}=n-\dim(W)$ .

[modifier] Bases orthogonales

Une base $C=(e_{1},\ldots,e_{n})$ est othogonale pour $B$ si :

$\forall i\neq j, B(e_{i},e_{j})=0\$ .

Lorsque la caractéristique du corps est différente de deux, il existe toujours une base orthogonale. Cela peut être démontré par récurrence.

Une base $C$ est othogonale si et seulement si la matrice $A$ représentant $B$ dans cette base est une matrice diagonale.

[modifier] Signature et loi d'inertie de Sylvester

Dans sa forme la plus générale, la loi d'inertie de Sylvester affirme, qu'en travaillant sur un corps ordonné $\mathbb{K}$ , le nombre d'éléments diagonaux nuls, ou strictement positifs, ou strictement négatifs, est indépendant de la base orthogonale choisie. Ces trois nombres constituent la signature de la forme bilinéaire.

[modifier] Cas réel

En travaillant sur le corps des réels, il est possible d'aller un peu plus loin. Soit $C=(e_{1},\ldots,e_{n})$ une base orthogonale.

Définissons une nouvelles base $C'=(e'_{1},\ldots,e'_{n})$ par

$e'_{i} = \left\{ \begin{matrix} e_{i} & \mbox{si } B(e_{i},e_{i})=0 \\ \frac{e_{i}}{\sqrt{B(e_{i},e_{i})}} & \mbox{si } B(e_{i},e_{i}) >0\\ \frac{e_{i}}{\sqrt{-B(e_{i},e_{i})}}& \mbox{si } B(e_{i},e_{i}) <0 \end{matrix}\right.$

Maintenant, la matrice $A$ représentant la forme bilinéaire symétrique, dans cette nouvelle base, est une matrice diagonale ayant des 0 ou des 1 uniquement sur sa diagonale. Des zéros apparaissent sur la diagonale si et seulement si le noyau est non trivial.

[modifier] Cas complexe

En travaillant sur le corps des nombres complexes, on peut établir un résultat similaire à celui du cas réel.

Soit $C=(e_{1},\ldots,e_{n})$ une base orthogonale.

Pour tout $i\in\{1, \ldots, n\}$ tel que $B(e_{i},e_{i})\neq 0$ , notons $r i$ l'une des racines carrées de $B (e i, e i)$ .

Définissons une nouvelle base $C'=(e'_{1},\ldots,e'_{n})$ par

$e'_{i} = \left\{ \begin{matrix} e_{i} & \mbox{si }\; B(e_{i},e_{i})=0 \\ e_{i}/r_i & \mbox{si }\; B(e_{i},e_{i}) \neq 0\\ \end{matrix}\right.$

Maintenant, la matrice $A$ dans la nouvelle base est une matrice diagonale ayant seulement des 0 ou 1 sur la diagonale. Des zéros apparaissent si et seulement si le noyau est non trivial.