Loi d'inertie de Sylvester

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Il s'agit en fait d'un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.

Soit $\,V$ un espace vectoriel sur $\,\R$ de dimension n, et $\,q$ une forme quadratique de rang r. Il existe un entier $s\le r$ et des formes linéaires indépendantes $\,l_1,...,l_r$ telles que

$q=-\sum_{i=1}^sl_i^2+\sum_{i=s+1}^rl_i^2$

Cette écriture n'est pas unique, mais l'entier l'entier s n'en dépend pas. On l'appelle l'indice de $\,q$ .

Deux formes quadratiques sur $\,V$ sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang et même indice.

Preuve.Le théorème de réduction de Gauss assure de l'existence de r des formes linéaires indépendantes $\,l_1,...,l_r$ et de réels $\,c_1,..., c_r$ tous non nuls tels que $q=\sum_{i=1}^rc_il_i^2$ . L'existence de la décomposition annoncée s'obtient en renumérotant les $\,c_i$ de façon à mettre en premier ceux qui sont strictement négatifs, puis en remplaçant $\,l_i$ par $\sqrt{\vert c_i\vert}l_i$ .

Pour montrer que s ne dépend que de q, montrons que c'est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie négative. (On montrerait de même que r-s est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie positive). Soient $\,(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $\,V$ dans laquelle $\,l_1,...,l_r$ sont les r premières fonctions coordonnées (en particulier, $\,e_{r+1},\ldots,e_n$ est une base du radical $\,\mathrm{rad}(q)$ de $\,q$ ), et $\,F^-$ (resp. $\,F^+$ ) le sous-espace engendré par $\,e_1,\ldots,e_s$ (resp. $\,e_{s+1},\ldots,e_r$ ). On obtient une décomposition

$V=F^-\bigoplus F^+\bigoplus \mathrm{rad(q)}$

en somme directe de sous-espaces deux à deux orthogonaux pour la forme bilinéaire associée à $\,q$ , la restriction de $\,q$ à $\,F^+$ (resp. $\,F^-$ ) étant définie positive (resp. définie négative). Soit $\,G$ un sous-espace de dimension m sur lequel $\,q$ est définie négative. Comme $\,q$ est définie positive sur $\,F^+$ , ces deux sous-espaces sont en somme directe et $\,q$ est non dégénérée sur cette somme, donc $m+(r-s)=\dim G+\dim F^+\leq r$ , c'est-à-dire $m\leq s$ .

Passons maintenant au critère d'équivalence. Si $\,q$ est une forme quadratique s'écrivant

$q=-\sum_{i=1}^sl_i^2+\sum_{i=s+1}^rl_i^2$

et si $\,\phi$ est une application linéaire inversible, on a

$q\circ\phi =-\sum_{i=1}^s(l_i\circ\phi)^2+\sum_{i=s+1}^r(l_i\circ\phi)^2.$

Les formes $\,l_i\circ\phi$ sont indépendantes si les $\,l_i$ le sont, donc $\,q$ et $\,q\circ\phi$ ont même indice (on sait déjà d'après la théorie générale qu'elles ont même rang). Réciproquement, si $\,q$ et $\,q^\prime$ ont même indice et même rang, elles ont même matrice par rapport à des bases convenables et sont donc bien équivalentes.