Force normale entre deux disques dans un fluide visqueux

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Soient deux disques parallèles et rigides, de rayon $R$ , s'approchant à la vitesse $V$ au sein d'un fluide visqueux incompressible, de viscosité $η$ , dans le régime de Stokes (faibles nombres de Reynolds)

Il s'exerce entre eux, via le fluide, une force répulsive normale.

En première approximation, l'écoulement du fluide est partout parallèle à la paroi des disques (approximation de lubrification) et axisymétrique. Plus précisément, si la normale aux disques est orientée selon $z$ , le champ de vitesse est radial et horizontal. La vitesse ne dépend que de la distance $r$ à l'axe de révolution et de l'altitude $z$ :

$\vec{v} = v(r,z) \vec{u}_r$ .

Si les disques sont situés en $z = \pm h/2$ , l'équation du profil de vitesse est donnée par :

$v(r,z) = v_{\rm max}(r)\;\left( 1-\frac{4\,z^2}{h^2} \right)$

où la vitesse maximale (à mi-hauteur) ne dépend que de la distance $r$ à l'axe.

[modifier] Calcul de la vitesse radiale

À la distance $r$ de l'axe, la vitesse moyenne

$v_{\rm moy}(r) = \frac{1}{h}\int_{-h/2}^{+h/2}v(r,z)\;{\rm d}z = \frac{2}{3} v_{\rm max}(r)$

(formule valable en cas de non glissement à la paroi) est fixée par l'incompressibilité du fluide :

$2\pi\,r\cdot h\cdot v_{\rm moy}(r) = \pi r^2\cdot V$

D'où finalement la vitesse en tout point :

$v(r,z) = \frac{3r}{4h} \left( 1-\frac{4\,z^2}{h^2} \right) V$

[modifier] Calcul du champ de pression

Le gradient de pression est donné par l'écoulement de Poiseuille : $\frac{{\rm d} p}{{\rm d} r} (r) = - \frac{8\;\eta}{h^2} \cdot v_{\rm max} = - \frac{6\eta\;V}{h^3} \cdot r$

Si la pression est nulle au bord des disques ( $r = R$ ), le champ de pression s'obtient par intégration du gradient :

$p(r) = \int_R^r {\rm d}r^\prime \frac{6\eta\;V}{h^3} \cdot r^\prime = \frac{3\eta V R^2}{h^3}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$

[modifier] Calcul de la force

La force totale s'obtient par intégration du champ de pression :

$F = \int_0^{2\pi} \int_0^R p(r) r{\rm d}r {\rm d}\theta = \frac{3\pi}{2}\frac{\eta V R^4}{h^3}$

[modifier] Implications pratiques

Si la distance $h$ est petite par comparaison avec le rayon $R$ des disques, la force nécessaire est grande.

Ainsi, lorsqu'on a écrasé une goutte de shampoing entre deux plaques de verre, il est assez difficile de les séparer (sous leur propre poids, elles peuvent même mettre un certain temps avant de se séparer). De manière analogue, la minceur d'un film adhésif est l'ingrédient principal de sa résistance initiale au décollement.