Chute d'une plaque collée par un fluide visqueux

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Soit une plaque circulaire collée au plafond par une goutte de shampoing. Tombera-t-elle, et si oui, en combien de temps ?

Le poids de la plaque a tendance à la faire tomber. Deux mécanismes la retiennent en place ou freinent sa chute.

Sommaire

[modifier] Force capillaire

La force capillaire retient la plaque au plafond. Son origine est la suivante.

La goutte de shampoing, écrasée entre la plaque et le plafond, est devenue un mince film. Le bord de ce film est constitué d'une surface courbe, appelée ménisque, qui se raccorde à la plaque et au plafond. Ce ménisque est en général fortement incurvé lorsque le film est mince. Par conséquent, la pression dans le film est abaissée (pression de Laplace). Cette dépression, multipliée par la surface qu'occupe la goutte, constitue la force capillaire.

Si la plaque est légère, la force capillaire est suffisante pour la maintenir collée au plafond.

Si elle est plus lourde, elle se met en mouvement. Une force visqueuse ralentit alors sa chute.

[modifier] Force visqueuse

Lorsque la plaque se met en mouvement, elle induit un écoulement du shampoing, et il en résulte une force (calcul de cette force) qui tente de s'opposer à sa chute.

Cette force ne fait que ralentir la chute et ne peut la stopper. En effet, elle s'éteint si le mouvement cesse.

[modifier] Notations

Pour calculer ces forces et leurs effets, nous notons R le rayon de la goutte écrasée, h son épaisseur, et \Omega=h\,\pi R^2 son volume, qui est constant. M désigne la masse de la plaque, et g l'accélération de la pesanteur.

[modifier] Temps de chute de la plaque (effet visqueux uniquement)

Supposons que la plaque soit très lourde et que la force capillaire puisse être négligée. La force visqueuse (calcul) s'écrit :

M\,g = \frac{3\pi}{2}\frac{\eta \dot{h} R^4}{h^3} = \frac{3}{2\pi}\frac{\eta \dot{h} \Omega^2}{h^5}

Elle permet d'obtenir l'équation d'évolution de l'épaisseur de la goutte :

\frac{\dot{h}}{h^5} = \frac{2\pi}{3} \frac{M\,g}{\eta \Omega^2}

Cette équation différentielle se résout sous la forme :

\frac{1}{h_0^4}-\frac{1}{h^4} = \frac{8\pi}{3} \frac{M\,g}{\eta \Omega^2} t

où t est le temps, et h0 l'épaisseur initiale.

Cette équation prédit donc que l'épaisseur h(t) diverge (chute de la plaque) à la date :

t_{\rm chute} = \frac{3}{8\pi}\frac{\eta\,\Omega^2}{M\,g\,h_0^4} = \frac{3\pi^3}{8}\frac{\eta\,R^8}{M\,g\,\Omega^2}

[modifier] Temps de chute de la plaque (effet visqueux et capillaire)

Il faut retrancher du poids la force capillaire :

M\,g - \pi R^2 \frac{\gamma}{h/2} = \frac{3\pi}{2}\frac{\eta \dot{h} R^4}{h^3} = \frac{3}{2\pi}\frac{\eta \dot{h} \Omega^2}{h^5}

Ici, nous avons supposé, pour simplifier, que le shampoing mouille totalement la plaque ainsi que le plafond. Le rayon de courbure du ménisque est alors h / 2.

Le temps de chute se calcule, là aussi, par intégration de cette équation d'évolution.