Fonction de Pearson

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Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.

Sommaire

[modifier] Pearson IV

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

f(x) = k \cdot \left [ 1 + \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right )^2 \right ]^{-m} \cdot \exp \left [ - \nu \cdot \tan^{-1} \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right ) \right ]

où

  • m, ν, a et λ sont des réels ;
  • m > 1/2 ;
  • k est un facteur de normalisation.

La fonction est invariante si l'on change simultanément le signe de a et de ν, on prend donc par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en

x_m = \lambda - \frac{a \nu}{2 m}

elle présente deux points d'inflexion situés en

x_{i+/-} = x_m \pm \frac{a}{2 m} \sqrt{\frac{4m^2 + \nu^2}{2m+1}}.

Sa moyenne vaut

\langle x \rangle = \lambda - \frac{a \nu}{r} pour m > 1

en posant

r = 2(m - 1).

La moyenne est infinie si ν = 0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

\mu_2 = \frac{a^2}{r^2(r-1)}(r^2 + \nu^2) pour m > 3/2.

La variance est infinie si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

k = \frac{2^{2m-2} | \Gamma (m + i \nu /2) |^2}{\pi a \Gamma (r)}

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

[modifier] Pearson VII

La VIIe fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

f = \frac{1}{\left [ 1+ \left (\frac{2(x-x_0) \cdot \sqrt{2^{1/M}-1}}{w} \right )^2 \right ]^M}

où M est le paramètre de forme, ou « largeur de Pearson ».

On écrit parfois une expression simplifiée :

f = \left [ 1 + K^2 \frac{(x-x_0)^2}{M} \right ]^{-M}

On a

  • M < 1 : distribution dit super lorentzien ;
  • M = 1 : distribution de Cauchy : Lorentz (lorentzienne) : Breit-Wigner ;
  • M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

  • Karl Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution.—II. Skew Variation in Homogeneous Material, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, (1895), page 343.
  • Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—X. Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 197, (1901), page 443.
  • Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 216, (1916), page 429.

[modifier] Liens externes

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