Fonction de Möbius

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En mathématiques, la fonction de Möbius, notée \mu(n)\,\! est une fonction multiplicative d'arithmétique modulaire utilisée en théorie algébrique des nombres et en combinatoire. Elle fut introduite en 1831 par le mathématicien allemand August Ferdinand Möbius.

Sommaire

[modifier] Définition

La fonction de Möbius \mu(n)\,\! est définie pour tous les entiers naturels strictement positifs par :

Par exemple :

  • 10=2\times 5\,\!, donc \mu(10)=1\,\!
  • 11\,\! est premier, donc \mu(11)=-1\,\!
  • 12=2^2\times 3\,\!, donc \mu(12)=0\,\!

La fonction de Möbius peut également être définie comme suit :
Soit n\,\! un entier strictement positif. On note \epsilon_0(n)\,\! le nombre de décompositions de n\,\! en un nombre pair de facteurs (autres que le facteur 1) et \epsilon_1(n)\,\! le nombre de décompositions de n\,\! en un nombre impair de facteurs, y compris la décomposition triviale n=n\,\! (dans les deux cas, l'ordre des facteurs est pris en compte). On conviendra que \epsilon_0(1)=1\,\! et que \epsilon_1(1)=0\,\!.

Par exemple, pour n=12\,\!, on a :

12=2\times 6=3\times 4=4 \times 3=6\times 2\,\!

donc \epsilon_0(12)=4\,\! et :

12=12=2\times 2\times 3=2\times 3\times 2=3\times 2\times 2\,\!

donc \epsilon_1(12)=4\,\!.

La fonction de Möbius vérifie alors \mu = \epsilon_0 - \epsilon_1\,\!

Graphe représentant les 50 premières valeurs de la fonction:

La fonction de Möbius peut également être définie comme suit :

  • μ(n) est la somme des racines primitives n − èmes de l'unité.

[modifier] Propriétés et applications

La fonction de Möbius est multiplicative : \mu(a\times b) = \mu(a)\times \mu(b)\,\! lorsque a\,\! et b\,\! sont premiers entre eux. La somme des valeurs de la fonction de Möbius sur tous les diviseurs positifs de n\,\! est nulle, sauf si n=1\,\! :

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ si } n=1\\ 0&\mbox{ si } n>1\end{matrix}\right.

Ce qui est une conséquence du fait que tout ensemble fini non vide a autant de sous-ensembles avec un nombre pair d'éléments que de sous-ensembles avec un nombre impair d'éléments. Ce résultat joue un rôle essentiel dans la Formule d'inversion de Möbius.

La fonction de Möbius est également liée, en combinatoire, avec le théorème de Pólya sur les groupes et les énumérations combinatoires.

En théorie des nombres, la fonction de Mertens est très proche de celle de Möbius. Elle est définie par :

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

pour tout entier naturel n\,\!. Cette fonction est liée avec la position des racines de la fonction zêta de Riemann.

[modifier] Sections μ(n)

\mu(n)=0\,\! ssi n\,\! est divisible par un carré. Les premiers nombres vérifiant cette propriété sont (suite A013929 de l'Encyclopédie électronique des suites entières) :

 4,  8,  9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44,
45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63 ...

Si n\,\! est premier, alors \mu(n)=-1\,\!, mais la réciproque n'est pas vraie. Si n\,\! est un nombre sphénique (c’est-à-dire produit de trois nombres premiers distincts), alors \mu(n)=-1\,\!. Les premiers nombres sphéniques sont (suite A007304) :

 30,  42,  66,  70,  78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 
165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,...

et les premiers nombres avec 5 facteurs premiers distincts sont (suite A046387) :

 2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 
 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ...

[modifier] Généralisation

En combinatoire, il est possible d'assigner à tout ensemble partiellement ordonné une algèbre d'incidence. Un membre de cette algèbre est la « fonction de Möbius » de l'ensemble. La fonction de Möbius classique traitée dans cet article est égale à la fonction de Möbius de l'ensemble des entiers positifs, ordonné selon leur divisibilité.

[modifier] Lien externe