Fonction d'Airy
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La fonction d'Airy Ai est une des fonctions spéciales en mathématiques, c'est-à-dire une des fonctions remarquables apparaissant fréquemment dans les calculs. Elle porte le nom de l'astronome britannique George Biddell Airy, qui l'introduisit pour ses calculs d'optique, notamment lors de l'étude de l'arc-en-ciel. La fonction d'Airy Ai et la fonction Bi, qu'on appelle fonction d'Airy de seconde espèce, sont des solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre deux
connue sous le nom d'équation d'Airy.
[modifier] Définition
[modifier] Fonction Ai
La fonction d'Airy est définie en tout x réel par la formule
qui forme une intégrale semi-convergente (cela peut être prouvé par une intégration par parties). Un théorème de dérivation des intégrales à paramètres permet de montrer que Ai est solution de l'équation d'Airy
avec pour conditions initiales
La fonction possède notamment un point d'inflexion en x=0. Dans le domaine x>0, Ai(x) est positive, concave, et décroît exponentiellement vers 0. Dans le domaine x<0, Ai(x) oscille autour de la valeur 0 avec une fréquence de plus en plus forte et une amplitude de plus en plus faible à mesure que -x grandit. C'est ce que confirment les équivalents aux bornes (lorsque x tend vers +∞)
dans lesquels on voit apparaître la fonction gamma.
[modifier] Fonction d'Airy de seconde espèce Bi
Les solutions de l'équation d'Airy (autres que la solution nulle) ont également un comportement oscillant dans le domaine x<0. La fonction d'Airy de seconde espèce, Bi, est la solution de l'équation d'Airy dont les oscillations ont même amplitude que celles de Ai au voisinage de −∞ et qui présente un déphasage de π/2. Elle admet pour équivalents aux bornes
Les fonctions Ai et Bi fonctions constituent un système fondamental de solutions de l'équation d'Airy, la seconde correspondant aux conditions initiales
