Expérience de Fermi-Pasta-Ulam

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Réalisée en 1953, l'expérience de Fermi-Pasta-Ulam (FPU) fut la première simulation numérique, c’est-à-dire une « expérience virtuelle » entièrement réalisée sur ordinateur. Cette expérience consiste à étudier la répartition à long terme de l'énergie d'un système dynamique unidimensionnel de 64 masses couplées entre elles par des ressorts harmoniques perturbés par une faible anharmonicité, sachant qu'un seul mode du système est initialement excité.

À cette époque, on pensait que l'hypothèse ergodique de Boltzmann s'appliquait à tous les systèmes dynamiques non-intégrables. Or, si le problème purement harmonique est intégrable, le problème perturbé ne l'est plus. Les trois auteurs de cette simulation s'attendaient donc à observer une « thermalisation approchée » du système perturbé par la faible anharmonicité, l'énergie se répartissant de façon approximativement égale sur les différents modes. Le résultat fut très surprenant : la thermalisation n'a pas lieu, la dynamique réelle du système perturbé étant quasi-périodique !

Depuis lors, le théorème KAM nous a appris que la perturbation d'un système intégrable ne conduisait pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants pouvaient subsister dans des régions de mesures finies de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi-périodique.

Sommaire

1 Les équations FPU
- 1.1 Anharmonicité quadratique
- 1.2 Anharmonicité cubique
2 Liens
3 Bibliographie

[modifier] Les équations FPU

Si l'on note $x i$ ( $i = 1, \dots, N = 64$ ) le déplacement de la i-ème masse par rapport à sa position d'équilibre, les systèmes d'équations différentielles couplées étudiés numériquement par FPU sont les suivants :

[modifier] Anharmonicité quadratique

$\ddot{x}_i \ = \ \left( x_{i+1} \ + \ x_{i-1} \ - \ 2 \, x_i \right) \ + \ \alpha \ \left[ \ \left( x_{i+1} \ - \ x_i \right)^2 \ - \ \left( x_i \ - \ x_{i-1} \right)^2 \ \right]$

où $α$ est un petit paramètre.

[modifier] Anharmonicité cubique

$\ddot{x}_i \ = \ \left( x_{i+1} \ + \ x_{i-1} \ - \ 2 \, x_i \right) \ + \ \beta \ \left[ \ \left( x_{i+1} \ - \ x_i \right)^3 \ - \ \left( x_i \ - \ x_{i-1} \right)^3 \ \right]$

où $β$ est un petit paramètre.

[modifier] Liens

Théorie du chaos
Théorie ergodique
Théorème KAM
Équation de Korteweg-de Vries
Soliton

[modifier] Bibliographie

E. Fermi, J. Pasta, S. Ulam ; Studies of Nonlinear Problems, Document Los Alamos 1940 (May 1955). Texte complet disponible au format [pdf] [1].

G.P.Berman & F.M.Izrailev ; The Fermi-Pasta-Ulam problem: 50 years of progress, Chaos 15 (2005) 015104. Texte complet disponible sur l'ArXiv : nlin.CD/0411062.

Thierry Dauxois, Michel Peyrard, Stefano Ruffo ; The Fermi-Pasta-Ulam "numerical experiment": history and pedagogical perspectives (2005). Texte complet disponible sur l'ArXiv : nlin/0501053.