Espace pramétrique

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En mathématiques, un espace pramétrique est un espace topologique plus général que les espaces métriques, ne nécessitant ni symétrie, ni indiscernabilité, ni la validité de l'inégalité triangulaire. De tels espaces apparaîssent naturellement pour des applications entre espaces métriques.

[modifier] Définition

Un espace pramétrique $\left( M, d \right)$ est la donnée d'un ensemble M et d'une fonction $\mathrm d : M \times M \mapsto \R$ , appelée fonction pramétrique (ou pramétrique), qui vérifie les deux conditions suivantes :

$\forall x,y \in M, \quad \mathrm d \left( x, y \right) \ge 0$ (positivité)
$\forall x,y \in M, \quad \mathrm d \left(x,x\right) = 0$

L'on peut avoir $\mathrm d \left( x, y \right) = 0$ , alors que $x \neq y$ .

[modifier] Cas particuliers

Il existe peu de contraintes sur le choix d'une pramétrique. On peut ainsi imposer certaines propriétés :

Si , la fonction pramétrique est dite « symétrique » ;
- Si de plus $\mathrm d \left(x, y \right) = 0$ implique x = y, la fonction est dite « semimétrique » et engendre un espace semimétrique ;
Si d vérifie l'inégalité triangulaire, elle est dite « hémimétrique » et engendre un espace hémimétrique ;
- Si de plus $\mathrm d \left(x, y \right) = 0$ implique x = y, la fonction est dite « quasimétrique » et engendre un espace quasimétrique ;
- Si de plus d est symétrique, alors est est dite « pseudométrique » et engendre un espace pseudométrique ;

Le cas où d vérifie ces trois propriétés est celui d'une métrique et la fonction d engendre un espace métrique.

[modifier] Exemples

Soit $\left( X, \rho \right)$ un espace métrique et $f : X \to Y$ une application, alors la fonction :

$\mathrm d \left( y_1, y_2 \right) = \rho \left( f^{-1} \left( y_1 \right), \, f^{-1}\left( y_2\right) \right)\,$

est une pramétrique symétrique.

La fonction définie par :

$\mathrm d \left( x, y \right) = \begin{cases} | x - y | & \text{pour} \quad x \le y \\ 1 & \text{sinon} \end{cases}$

est une pramétrique non-symétrique. Elle engendre la ligne de Sorgenfrey.

L'ensemble $\{ 0, 1 \}~$ muni de la pramétrique :

d (0,1) = 1 ;

d (1, 0) = 0 ;

engendre pour cet ensemble une topologie connectée, qui en fait un espace de Sierpiński.

[modifier] Propriétés topologiques

Au sens d'une pramétrique, une boule est définie par :

$B_r \left( p \right) = \{ x \in M \; | \; \mathrm d \left( x, p \right) < r \}.~$

La particularité des espaces pramétriques est qu'une telle boule peut ne pas être un ouvert, et l'ensemble des boules peut ne pas constituer une base pour la topologie d'un tel espace. Il faut plutôt travailler avec l'ensemble des ouverts : $U \subset M$ est un ouvert si et seulement si :

$\forall p \in U \quad \exists r > 0 \qquad B_r \left(p\right) \subset U$ .

Par ailleurs, l'intérieur de la boule de centre p peut ne pas contenir p — l'intérieur peut même se restreindre à l'ensemble vide. Un autre aspect inhabituel de ces espaces est qu'un point situé dans un fermé^[1] peut avoir une distance à ce fermé non-nulle :

$<x \in \bar A \subset M$ peut ne pas impliquer $\mathrm d \left( x, \bar A \right) = 0$

L'ensemble des points situés à une distance nulle d'un ensemble constitue une fermeture appelée prafermeture :

$[A]_p= \{ x \in X : \mathrm d \left(x,A \right)=0 \} \,$

est une prafermeture sur X.

Une propriété intéressante des espaces pramétriques est qu'un espace topologique dont la topologie est engendrée par une pramétrique est un espace séquentiel.

[modifier] Notes et références

↑ Un ensemble $\scriptstyle C \subset M$ est dit fermé si et seulement si, pour tout $\scriptstyle p \in M \setminus C$ , $\scriptstyle \mathrm d \left(p, C \right) >0$ .