Espace hémimétrique

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En mathématiques, un espace hémimétrique est un cas particulier d'espace pramétrique, à qui l'on impose de vérifier l'inégalité triangulaire.

[modifier] Définition

Un espace hémimétrique (M, d) est la donnée d'un ensemble M et d'une fonction $d\colon X\times X\to \mathbb{R}$ appelée fonction hémimétrique (ou hémimétrique), qui vérifie :

$\forall x,y \in M, \quad \mathrm d(x,y)\geq 0$ (positivité) ;
$\forall x,y,z \in M, \quad\mathrm d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ (inégalité triangulaire) ;
$\forall x \in M, \mathrm d(x,x)=0$ .

[modifier] Cas particuliers

En imposant à la fonction d d'être symétrique, on en fait une fonction pseudométrique, qui engendre un espace pseudométrique.
Une hémimétrique qui distingue deux points est appelée quasimétrique, et engendre un espace quasimétrique.
Une hémimétrique qui vérifie à la fois ces deux propriétés est une métrique, qui engendre un espace métrique.