Espace de Sobolev

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant l'analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels. Ils doivent leur nom au mathématicien russe Sergueï Sobolev.

Sommaire

1 Espaces de Sobolev standards
2 Espaces de Sobolev sur les variétés
- 2.1 Théorèmes de densité
- 2.2 Théorème de plongement de Sobolev
3 Définition - Ordre 1
- 3.1 Propriétés
4 Cas général
- 4.1 Propriétés

[modifier] Espaces de Sobolev standards

Si $U$ est un ouvert de $\R^n$ , on note habituellement $W k, p (U)$ l'espace des fonctions $f:U\rightarrow \R$ qui sont mesurables, $k$ fois dérivables au sens des distributions, et telles que les dérivées successives soient dans $L^p(U) \,$ (voir l'article ici pour une définition de $L^p(U) \,$ ).

[modifier] Espaces de Sobolev sur les variétés

Considérons une variété riemannienne $(M, g)$ et notons $\nabla$ la connexion de Levi-Cevita.

Notons $C k, p (M)$ l'espace des fonctions $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C k$ telles que $|\nabla ^lf|\in L^p(M)$ pour $0\leq l\leq k$ . L'espace de Sobolev $W k, p (M)$ est la complétion de $C k, p (M)$ pour la norme :

$\|f\|_{k,p}=\sum_{l=0}^k\|\nabla ^lf\|_p$

Cette définition est cohérente avec celle donnée dans le paragraphe précédent. En effet, un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^n$ est muni de la métrique riemannienne induite par la structure euclidienne naturelle de $\mathbb{R}^n$ .

[modifier] Théorèmes de densité

Pour une variété riemannienne complète, les fonctions $C^{\infty}$ à support compact sont denses dans $W 1, p (M)$ pour tout $1\leq p<\infty$ .
Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité $δ > 0$ et de courbure bornée, les fonctions $C^{\infty}$ à support compact sont denses dans $W 1, p (M)$ pour tout $1\leq p<\infty$ .

[modifier] Théorème de plongement de Sobolev

Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité $δ > 0$ et de courbure bornée (typiquement : variété riemannienne compacte) :

Si $k>l\geq 0$ sont des entiers, $1\leq p <q$ des réels, avec $\frac{1}{p}=\frac{1}{q}-\frac{k-l}{n}$ , alors l'espace $W k, q (M)$ s'injecte continuement dans $W l, p (M)$ .

Si $k, r$ sont des entiers vérifiant l'inégalité $\frac{k-r}{n}>\frac{1}{q}$ , l'espace $W k, q$ s'injecte continuement dans $B C r (M)$ .

[modifier] Définition - Ordre 1

Soit l'ensemble défini par $\mathbf{H^1(\Omega)}=\{v\in \mathbf{L^2(\Omega)}, \forall i =1...N, \frac{\partial v}{\partial x_i}\in \mathbf{L^2(\Omega)} \}$

On l'appelle espace de Sobolev d'ordre 1.

[modifier] Propriétés

$\mathbf{H^1(\Omega)}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbf{L^2(\Omega)}$ .

Pour $u$ et $v$ dans $\mathbf{H^1(\Omega)}$ on note $((u,v))_1 = \int_{(\Omega)} (uv + \sum_{i=1}^N \frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_i} \,) dm$
L'espace $\mathbf{H^1(\Omega)}$ muni du produit scalaire $\mathbf{((u,v))_1}$ est un espace de Hilbert.
L'espace $\mathbf{H^1(\Omega)}$ est séparable.

[modifier] Cas général

On appelle espace de Sobolev d'ordre m le sous-espace vectoriel de $\mathbf{L^2(\Omega)}$ défini par:

$\mathbf{H^m(\Omega)}=\{v\in \mathbf{L^2(\Omega)}, \forall q\le m, \frac{\partial ^q v}{\partial x_1 ... \partial x_q}\in \mathbf{L^2(\Omega)} \}$

[modifier] Propriétés

La forme définie sur $\mathbf{H^m(\Omega) \times H^m(\Omega)}$ par $((u,v))_m = \int_{(\Omega)} \sum_{q\le m} \sum_{r\le m} \frac{\partial ^q v}{\partial x_1 ... \partial x_q} \frac{\partial ^r v}{\partial x_1 ... \partial x_r} \, dm$

est un produit scalaire. Muni de ce produit scalaire, l'espace $\mathbf{H^m(\Omega)}$ est un espace de Hilbert.

Théorème de régularité L'espace $\mathbf{H^m(\Omega)}$ s'injecte dans $\mathbf{C^k(\Omega)}$ où k est un entier quelconque, vérifiant la condition $0 \le k < m - \frac{N}{2}$ où N est la dimension de l'espace.