Distance d'un point à une droite

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La distance entre le point A et la droite (d) est la distance AA_h

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal A_h sur la droite (d). On peut ainsi écrire :

d (A,(d)) = d (A, A h)

[modifier] Dans le plan

Si le plan est muni d'un repère orthonomal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées $(x A; y A)$ alors la distance entre A et (d) est donnée par la formule

$d(A,(d))=AA_h=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

où |r| représente la valeur absolue du réel r.

En effet, si M (x,y) est un point quelconque de la droite (d), et si on note $\vec n$ le vecteur normal à la droite (d) de coordonnées $(a; b)$ alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec n$ est donnée par les deux expressions :

$|\overrightarrow{AM}.\vec n| = |a(x-x_A) + b(y - y_A)|= |ax_A + by_A + c|$ ( ax + by = - c car M est un point de (d))

$|\overrightarrow{AM}.\vec n| = AA_h \times ||\vec n|| = AA_h\times \sqrt{a^2+b^2}$

En particulier,

si la droite a pour équation y = mx + p alors $d(A,(d))=\frac{|mx_A - y_A+p|}{\sqrt{1+m^2}}$
si la droite a pour équation x = a alors $d (A,(d)) = | x A - a |$
si la droite a pour équation y = b alors $d (A,(d)) = | y A - b |$

[modifier] Dans l'espace

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur $\vec u$ , la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule

$d(A,(d))= \frac{||\overrightarrow{BA}\wedge \vec u||}{||\vec u||}$

où $\vec u \wedge \vec v$ représente le produit vectoriel des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ et où $||\vec u||$ représente la norme du vecteur $\vec u$

En effet, si l'on note C le point de (d) tel que $\overrightarrow{BC}=\vec u$ alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions

$A_{ABC} = \frac 12 ||\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{BC}||$

$A_{ABC} = \frac 12 BC\times AA_h$

Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d). Si la droite (d) est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note $d 1$ et $d 2$ les distances du point A à ces deux plans, on a :

$d(A,(d))= \sqrt{d_1^2+d_2^2}$