Distance d'un point à un plan

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Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit le plan P et le point A dans l'espace. On appelle (xA,yA,zA) les coordonnées du point A et ax + by + cz + d = 0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, d vaut :

d =\frac{\left| ax_A + by_A + cz_A + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Démonstration :

Soit H: = (x,y,z) le projeté orthogonal de A sur P et soit \vec n:=(a, b,c) un vecteur normal à P.

On sait que les vecteurs \overrightarrow{AH} et \vec n sont colinéaire, on peut donc écrire  :

\overrightarrow{AH}=\lambda.\vec n

Soit encore

(x − xA;y − yA;z − zA) = λ(a;b;c)

et H \in P donc

ax + by + cd + d = 0

Ceci revient à résoudre le système suivant:

\begin{Bmatrix} x=\lambda a+x_A \\ y=\lambda b+y_A \\ z=\lambda c+z_A \\ ax+by+cz+d=0 \end{Bmatrix}

La substitution de x, y et z dans la 4ème équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire:

a(λa + xA) + b(λb + yA) + c(λc + zA) + d = 0.

Ou encore:

axA + byA + czA + d + λ(a2 + b2 + c2) = 0.

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls: on a

\lambda = - \frac {ax_A+by_A+cz_A+D}{a^2+b^2+c^2}

Or, la distance de A à P, n'est autre que la longueur du vecteur \overrightarrow{AH}; donc:

d=AH=\left| \lambda \right| \begin{Vmatrix} \vec n \end{Vmatrix}
d= \left| \frac {-(ax_A+by_A+cz_A+d)}{a^2+b^2+c^2} \right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}
d =\frac{\left| ax_A + by_A + cz_A + d \right|}{\sqrt{a^2 + bB^2 + c^2}}

Ceci termine la preuve.

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