Chemin optique

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Le chemin optique est un outil de l'optique géométrique et ondulatoire.

On le définit comme la distance qu'aurait parcourue la lumière dans le vide pendant la durée qu'elle met à effectuer un trajet dans un milieu donné. C'est donc une quantité qui dépend de la vitesse de la lumière dans le milieu.

Le principe de Fermat énonce que les trajets empruntés par la lumière pour aller d'un point à un autre ont un chemin optique stationnaire.

Sommaire

1 Chemin optique et indice de réfraction
2 Cas général : chemin courbe et milieu inhomogène
3 Equation iconale
4 Loi fondamentale de l'optique géométrique
- 4.1 Analogie entre l'optique et la mécanique

[modifier] Chemin optique et indice de réfraction

Dans les milieux autres que le vide, les propriétés diélectriques des matériaux introduisent une modification de la vitesse de la lumière. La vitesse de la lumière, notée v est liée à l'indice optique n du milieu par la relation :

$v = \frac{c}{n}$

avec c la vitesse de la lumière dans le vide.

Dans le cas d'un milieu homogène, pour lequel n est le même en tout point, le chemin optique pour aller d'un point A vers un point B en ligne droite, que l'on note $\mathcal L_{AB}$ , est simplement donné par la distance géométrique entre le point A et le point B multipliée par l'indice de réfraction n. On a ainsi :

$\mathcal L_{AB} = n \, AB$

où AB est la distance géométrique entre le point A et le point B.

Exemple : Un rayon lumineux parcourt 5 cm dans une couche d'eau. Parallèlement, un autre rayon lumineux (identique au précédent) traverse 5 cm d'air. L'eau a pour indice de réfraction n = 1,33 et l'air un indice sensiblement égal à celui du vide n = 1. Dans l'eau, le chemin optique du rayon lumineux vaudra D = 1,33 × 5 = 6,65 cm. Dans l'air, il vaudra D' = 1×5 = 5 cm. Le chemin optique sera plus long dans l'eau que dans l'air.

S'ils étaient partis en même temps, le rayon lumineux qui traverse l'air arrive "avant" l'autre. cela peut être vérifié avec un laser et des miroirs (un dans l'eau et un dans l'air) par un systèmes d'interférences. La différence de phase entre le rayon ayant traversé de l'eau et celui ayant traversé de l'air sera fonction de la longueur d'eau traversée et du rapport des indices eau/air.

[modifier] Cas général : chemin courbe et milieu inhomogène

Soit une courbe C quelconque, dans un milieu inhomogène (n peut varier en différents points de l'espace). On cherche le chemin optique de la lumière parcourant cette courbe C. Pour cela, on considère deux points eux aussi quelconques appartenant à la courbe C, infiniment voisins et distants d'une distance ds.

Localement, le chemin optique est celui du cas simple : un rayon lumineux en ligne droite. On peut ainsi écrire :

$\mathrm{d} \mathcal L = n\left( s \right)\, \mathrm{d}s$

avec n(s) l'indice du milieu en un point s de la courbe. Pour trouver le chemin optique séparant deux points A et B sur cette courbe quelconque, il suffit de faire la somme intégrale de tous les éléments dL sur les coordonnées curvilignes s délimitées par les points A et B :

$\mathcal L_{AB} = \int_{A}^{B} n\left( s \right) \, \mathrm{d}s$

[modifier] Equation iconale

L'équation iconale (ou eikonale) peut s'obtenir à partir du chemin optique $\mathcal L$ .

$\mathcal L = \int_{A_0 }^{ A} n \, \mathrm{d}s$

En notant A₀ le point de coordonnées r₀ et A un point générique de coordonnées r situé sur une autre surface d'onde.

$\mathcal L ( \vec{r} ) = \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}} n \, ds$

Cette notation amène la différentielle suivante :

$\mathrm{d} \mathcal L = \overrightarrow{\nabla} \mathcal L \, \mathrm{d} \vec{r} = n \mathrm{d}s$

On peut l'écrire aussi avec le vecteur unitaire u définissant la direction de propagation de l'onde lumineuse.

$n \mathrm{d}s = n \left( \mathrm{d} \vec{r} . \vec{u} \right)$

Ce qui implique l'équation iconale de l'optique géométrique :

$n\vec{u} = \overrightarrow{\nabla} \mathcal L$

avec :

$n = \left| \overrightarrow{\nabla} \mathcal L \right|$

et $\nabla$ l'opérateur formel nabla.

[modifier] Loi fondamentale de l'optique géométrique

La loi fondamentale de l'optique géométrique est la suivante :

$\frac{ \mathrm{d} \left( n\vec{u} \right)} {\mathrm{d}s} = \overrightarrow{\nabla}n$

Cette loi exprimée de manière très générale peut se rapporter à une surface séparant deux indices différents. On pose le vecteur N, normal à la surface. Le vecteur grad(n) est porté par N.

$\Delta \left( n\vec{u} \right) = \vec{N} \int_{ -\frac{\epsilon} {2} }^{+\frac{\epsilon} {2} } \, || \overrightarrow{\nabla}(n) || \, \mathrm{d}s$

Et en posant I_s la valeur de l'intégrale

$\ n_2 \vec{\ u_2} -\ n_1 \vec{\ u_1} = \ I_s \vec{N}$

Ce qui rappelle la loi de Snell-Descartes.

[modifier] Analogie entre l'optique et la mécanique

En mécanique, on écrit

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}} {\mathrm{d}t} = F$

soit

$\frac{\mathrm{d} \left( p\vec{u} \right)} {\mathrm{d}s} = \frac{\vec{F}} {||\vec{v}||}$

En remarquant l'analogie avec l'équation

$\frac{\mathrm{d}\left( n\vec{u} \right)} {\mathrm{d}s} = \overrightarrow{\nabla}(n)$

On peut écrire que dans les conditions particulières suivantes (en physique des particules, on utilise la valeur c comme unité de vitesse) :

pour une masse unité m = 1 ;
pour une vitesse unité ||v|| = ||u|| = 1 .

F dérive d'un potentiel qui n'est fonction que de l'indice de réfraction :

$\vec{F} = - \overrightarrow{\nabla} \left(-\frac{n^2} {2} \right)$

On peut pousser l'analogie en rappelant que l'optique géométrique est l'approximation des faibles longueurs d'onde de l'optique ondulatoire.

L'idée générale de cette analogie (pressentie dans les années 1830 par Hamilton, puis reformulée par Louis de Broglie en 1923) est d'associer quantité de mouvement p de la particule et le vecteur d'onde k de l'onde. Le microscope électronique en est une implémentation concrète.