Axiomes des probabilités
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Dans la théorie des probabilités, une probabilité est une application qui à un évènement quelconque lié à l'expérience aléatoire associe un nombre réel (noté ) définie de telle manière qu'elle satisfasse les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés
Sommaire |
[modifier] Premier axiome
Pour tout évènement :
C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.
[modifier] Deuxième axiome
désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,
- ,
C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.
[modifier] Troisième axiome
Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), satisfait :
- .
C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).
[modifier] Conséquences
À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :
-
- .
-
- si , sont deux évènements incompatibles, alors .
-
- pour tous évènements , , .
- Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements ou se réalise est égale à la somme des probabilités pour que se réalise, et pour que se réalise, moins la probabilité pour que et se réalisent simultanément.
-
- pour tout évènement , .
- Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement.
-
- ; en particulier, si , alors
- (il en résulte que si , alors : c'est la propriété de croissance de la probabilité).
- La relation précédente signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence .
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