Discuter:Analyse dimensionnelle

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Je propose d'adapter la version anglaise dans le style :

"l'analyse dimensionnelle applique la théorie des groupes au contrôle de cohérence des systèmes d'équations et des procédures de calcul en physique, chimie et en ingéniérie.

Elle fonde la rationalisation des systèmes d'unités, et leurs rapports avec les unités coutumières.

On postule que certaines grandeurs physiques "essentielles" ont une SIGNATURE élémentaire ou dimension : M pour la masse, L pour la longueur, T pour le temps... Les signatures des autres grandeurs s'en déduisent par des relations multiplicatives, les nombres purs étant de dimension 1 (neutre). Par exemple, une vitesse, rapport d'une distance à un temps, a pour signature L/T, une accélération a pour signature L/T², et la signature d'une force est alors ML/T²". ....

1) Dans chaque protocole ou algorithme à signification physique, l'analyse dimensionnelle permet de contrôler la validité physique des expressions algébriques : seules les quantités de même signature peuvent être comparées / additionnées / soustraites ; les deux membres d'une équation doivent être de même signature ; les arguments des fonctions logarithmiques, trigonométriques, exponentielles... doivent être de dimension 1 - par exemple en rapportant la grandeur g à une grandeur de référence g0 - et leur résultat est de dimension 1; les produits et quotients sont toujours licites, et la signature de leur résultat est le produit (resp. quotient) des signatures des opérandes.

Exemple : Considérons l'équation d'Einstein E = mc².

   E est une énergie, de signature  ML²/T², car energie= force x longueur, force = masse x accélération, accélération = vitesse / temps.

m est une masse de signature M, c une vitesse de signature L/T. Donc les 2 membres de l'équation ont même signature ML²/T² : l'équation d'Einstein est admissible (à un coefficient près), comme d'ailleurs toute équation du style énergie = masse x vitesse² .

2) Le théorème pi de Buckingham indique comment toute expression physique à n variables peut être écrit comme une èquation à n-m paramètres sans dimension, où m est le nombre de dimensions utilisées. De plus, il fournit une méthode de calcul de ces paramètres même si la forme de l'équation est encore inconnue. Ce théorème utilise l'algèbre linéaire : l'espace de toutes les signatures possibles est isomorphe à un espace vectoriel à base de rationnels, dès lors que nous associons à toute signature la collection de ses exposants relatifs aux dimensions fondamentales (ex : ML² devient (1, 2, 0... )), le vecteur 0 correspondant à la dimension neutre 1 (ou absence de dimension). Multiplication et quotient d'expressions physiques ont alors pour image la somme et la différence des vecteurs exposants respectifs.

Exemple. On cherche une loi liant la période T d'un pendule, sa longueur L, et l'accélération de la gravité g. Supposons que l'on ait à un coefficient près T = L^a . g^b ; g ayant pour signature L/T², il faut que l'on ait T = L^a . (L/T²)^b, soit en raisonnant sur les exposants : - de T : 1 = 0.a - 2b, et b= -1/2 - de L : 0 = 1.a + b , et a= -b = 1/2. Donc la loi cherchée est en T = (L/g)^(1/2).

[modifier] Fusion avec équation aux dimensions

L'article Équation aux dimensions a été développé dans lignorance de Analyse dimensionnelle.

Il faudrait àmha les fusionner.

Cdang | m'écrire 25 nov 2004 à 16:53 (CET)

[modifier] Exemples

Il pourrait être intéressant de présenter l'analyse dimensionnelle sur quelques exemples, comme celui de la puissance d'une bombe atomique.

Nombre sans dimension montre des exemples classiques d'application de l'analyse dimensionnelle en mécanique des fluides à défaut de bombe atomique. Jct 17 décembre 2005 à 14:18 (CET)

[modifier] Résolution des problèmes

Il est dit que l'analyse dimensionnelle, grâce au théorème de Buckingham (parfois appelé théorème Pi) permet de trouver la solution de certains problèmes sans avoir à résoudre d'équation ni de problème mathématique ou physique. Quelques arguments seraient les bienvenus.

L'analyse dimensionnelle est particulièrement efficace en mécanique des fluides, sans prétendre se substituer à la résolution des problèmes mais simplement en fournissant la meilleure voie pour résoudre ceux qui ne peuvent être théorisés. Elle s'utilise en trois temps :

• identifier les variables dimensionnelles en cause dans le problème (tout oubli d'une variable pertinente peut conduire à des résultats étranges) ;
• en déduire les nombres sans dimensions correspondants, par le théorème de Buckingham ou par une méthode plus élémentaire ;
• effectuer des expériences et exprimer leurs résultats sous la forme d'un nombre sans dimensions en fonction des autres : cela permet de présenter ces résultats de la manière la plus efficace.

Nombres sans dimension montre que l'analyse dimensionnelle conduit à faire apparaître le carré de la vitesse dans l'expression d'une force de traînée mais que celle-ci ne lui est généralement pas proportionnelle. Jct 3 décembre 2005 à 11:00 (CET)