Alexandre Liapounov

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Alexandre Liapounov

Alexandre Mikhailovitch Liapounov (6 juin 1857 - 3 novembre 1918) est un mathématicien russe.

Fils de Sofia Aleksandrovna Shilipova et de Mikhail Vasilievitch Liapounov. Mikhail Vassilievich était astronome à l'Université de Kazan jusqu'à deux ans avant la naissance d'Aleksandr Mikhailovich. Alors nommé directeur du lycée Demidovski, il déménagea avec sa petite famille pour Yaroslavl, où Aleksandr vit le jour le 6 juin 1857.

Les autres enfants de Sofia et Mikhail, bien que ce ne soit pas le sujet ici, démontrèrent également de grandes capacités intellectuelles. Leurs deux autres fils, Sergei et Boris, devinrent respectivement compositeur et membre de l'académie soviétique des Sciences en tant qu'expert en langues slaves.

Aleksandr Mikhailovich commença son éducation à la maison, où un de ses oncles, Rafail M. Setchenov le prépara à l'entrée au Gymnasium. A cette époque, Natalia Rafailovna Setchenova, la propre fille du "professeur" participait également aux leçons. De fait, Natalia et Aleksandr se marièrent quelques années plus tard quand il eut 29 ans.

Peu de temps après la mort de son mari, Sofia, accompagnée de ses enfants, quitta Yaroslavl pour Nizhny Novgorod (appelée Groky entre 1932 et 1990) en 1870, et Lyapunov y intégra le Gymnasium. Il y rencontra Andrei Markov qui devint un de ses proches, et tout deux entrèrent à la faculté de Physique et de Mathématique de Saint-Petersbourg après avoir été diplômés du Gymnasium en 1876.

A l'Université, il suivit les enseignements de Pafnouti Tchebychev, qui, comme nous le verrons par la suite, eut une grande influence sur lui. Lyapunov obtint son diplôme en 1880 et décida de rester à Saint-Petersbourg pour continuer ses recherches. En 1881, il publia ses deux premiers articles sur l'hydrostatique : Sur l'équilibre des corps lourds dans des liquides lourds contenus dans certains type de récipients, et Sur le potentiel des pressions hydrostatiques. Dans les années qui suivirent, Chebychev posa une question à Lyapunov qui restera le fil conducteur de ses recherches pendant de nombreuses années :

« Il est bien connu qu'à une certaine vitesse angulaire, la forme ellipsoïdale cesse d'être la forme d'équilibre des liquides en rotation. Par conséquent, pour des petites augmentations de la vitesse angulaire n'aurions nous pas de transformations en nouvelles formes d'équilibre qui différent légèrement de la forme ellipsoïdale ? »

Bien que le travail de thèse de Lyapunov n'ait pas répondu à cette question, c'en était le thème principal. Il présenta un mémoire, Sur la stabilité des formes ellipsoïdales de l'équilibre d'un liquide en rotation, qu'il soutint à l'Université de St-Petersbourg en 1884. À la suite de quoi, il fut nommé à l'Université de Kharkiv pour y enseigner la mécanique et continuer ses recherches en thèse de doctorat. Le sujet fut Le problème général de la stabilité du mouvement défendu à l'Université de Moscou le 12 octobre 1892 du calendrier actuel. Cette thèse, d'une importance essentielle pour tous les problèmes d'équilibre et de stabilité lui valut le titre de docteur. L'année suivante il fut nommé professeur de l'Université de Kharkov, où il est resté jusqu'en 1902. Il joua un rôle majeur dans la Société Mathématique de Kharkov, dont il fut vice-président de 1891 à 1898, puis président de 1899 jusqu'à son départ de Kharkov, en 1902. Il édita également les Communications de la Société Mathématique de Kharkov.

Le problème posé par Chebychev sur l'existence de figures d'équilibre autres que les ellipsoïdales pour un fluide en rotation soumis à des variations de la vitesse angulaire suffisamment faibles, fut résolu en première approximation la première fois par Lyapunov. Il s'intéressa plus tard à la stabilité des ellipsoïdes formés par les fluides partant pour ses recherches du principe de variations de Thomson-Tait. Il montra qu'une condition suffisante de stabilité était que la seconde et plus grande des variations de l'énergie potentielle fut positive. Lyapunov admit qu'imposer un certain nombre de contraintes sur la première variation réduisait le caractère général de sa méthode. Il écrivit cependant :

« Mais dans ce respect, aucune autre méthode ne saurait être qualifiée de pleinement satisfaisante. »

Lyapunov montra qu'avec une variation de la vitesse angulaire de révolution, les ellipsoïdes de Mac-Laurin devenaient des ellipsoïdes de Jacobi. Le point de transition est une ellipse, de Jacobi dans le cas présent.

En 1901, Lyapunov fut élu à l'Académie des Sciences Russe à St-Petersbourg, et devint académicien l'année suivante en mathématiques appliquées. D'après Grigorian :

« à St-Petersbourg, Lyapunov s'est dévoué corps et âme à la recherche scientifique. Il s'enquit du problème devant lequel Chebychev l'avait placé, et avec une quantité d'articles qui parurent jusqu'après sa mort, developpa la théorie des figures d'équilibre d'un fluide lourd en rotation. »

En 1917, Lyapunov quitta St-Petersbourg pour un poste à Odessa, sur les côtes de la mer Noire. Il enseigna à l'Université, mais dans le printemps de 1918, la santé de sa femme commença à se dégrader rapidement. Natalia Rafailovna souffrait d'une variété de tuberculose, et Lyapunov fut très atteint par les problèmes de santé de sa femme. Elle mourut le 31 octobre 1918, et Lyapunov se suicida par balle la même journée. Il mourut à l'hôpital trois jours plus tard.

Nous avons décrit les principaux travaux de Lyapunov qui concernent les fluides en rotation. Il y a cependant, d'autres aspects de ses travaux qui méritent que l'on s'y attarde. Il y a sa contribution à la théorie des probabilités, à laquelle il s'intéressa à cause des cours qu'il était amené à faire sur le sujet. En particulier deux articles publiés en 1900 et 1901, où il donne une preuve du théorème de la limite centrale à l'aide d'une technique basée sur des fonctions caractéristiques. Il a également permis l'édition de deux volumes regroupant les travaux collectés d'Euler.

Il fut honoré, pour ses contributions excellentes, et élu dans de nombreuses académies telles que l'Accademia dei Lincei (1909) ou l'Académie des sciences française (1916). Il fut également promu au titre de membre honoraire des Universités de St-Petersbourg, Kharkov et Kazan. De nombreux tributs lui ont été versés lors du centenaire de sa naissance. Le 6 juin 1957, par exemple, Sobolev fit lecture Sur les travaux de A.M. Lyapunov sur la théorie potentielle, à Moscou, pour une session jointe, du président de l'Académie des Sciences, des divisions des sciences physiques et techniques de l'Académie des Sciences, de l'Université de Moscou, de la Société Mathématique de Moscou, de l'Institut de Mécanique de l'Académie des Sciences, et de l'Institut d'Automatique et de Télémécanique de l'Académie des Sciences.

Certains articles montrent combien la contribution de Lyapunov sur la stabilité du mouvement fut grande et a influencé le développement du sujet pendant de longues années. Les notions abordées sont : la stabilité, et notamment celle des points critiques; la construction, et l'utilisation des fonctions de Lyapunov; la stabilité des équations différentielles-fonctionnelles; la seconde méthode de Lyapunov; enfin la méthode de la fonction vectorielle de Lyapunov dans la théorie de la stabilité et l'analyse non linéaire.