Équation géodésique et symbole de Christoffel
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Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramétrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation des géodésiques devient
où Γkij est un symbole de Christoffel. Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique.
[modifier] Démonstration
Explicitant dans l'équation géodésique
on a
Paramétrons la trajectoire par sa longueur s, c’est-à-dire posons τ = s. Avec ce choix, on a et l'équation géodésique devient
Comme le tenseur métrique dépend de xi mais pas explicitement de , on a et l'équation géodésique prend la forme
La dérivée covariante du tenseur métrique étant nulle, on a
et
Ce qui permet d’écrire finalement
∎