Équation des géodésiques

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On obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées xi étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale

\mathrm dl = \sqrt{\pm g_{ij}\mathrm dx^i \mathrm dx^j}.

Le signe optionnel \pm est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable τ, on écrit

\mathrm dl = \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} \mathrm d\tau,

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à τ. La longueur de la trajectoire est donc la somme

\int \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} \mathrm d\tau

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{x}^i}\right)

avec

\dot{s} = \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j}

La paramétrisation canonique τ = s des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu le symbole de Christoffel (voir Équation géodésique et symbole de Christoffel) :

\ddot{x}^k = \Gamma^k_{ij} \dot{x}^i\dot{x}^j

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