Équation fonctionnelle

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En mathématiques, une équation fonctionnelle est une équation dont les inconnues sont des fonctions. De nombreuses propriétés de fonctions peuvent être déterminées en étudiant quelles équations elles satisfont. D'habitude, le terme « équation fonctionnelle » est réservé aux équations qu'on ne peut pas ramener à une équation algébrique, le plus souvent parce que la fonction cherchée a pour arguments dans l'équation, non pas directement la variable, mais des fonctions (déterminées) de la variable elle-même.

[modifier] Exemples

  • L'équation fonctionnelle
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
est satisfaite par la fonction Zeta de Riemann. La lettre Γ désigne la fonction Gamma d'Euler.
  • L'équation fonctionnelle
x\Gamma(x)=\Gamma(x+1) \,
est satisfaite par la fonction Gamma d'Euler.
  • L'équation fonctionnelle
f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)
où a, b, c et d sont des entiers naturels vérifiant ad − bc = 1, se retrouve dans la définition du concept de forme modulaire.
  • D'autres exemples d'équations fonctionnelles :
f(x + y) = f(x)f(y), satisfaite par les fonctions exponentielles
f(xy) = f(x) + f(y), satisfaite par les fonctions logarithmes
f(x + y) = f(x) + f(y) (équation de Cauchy)
F(az) = aF(z)(1 − F(z)) (équation de Poincaré)
G(x) = λ−1 G(G(λz)) (théorie du chaos)
f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2 (Jensen)
g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y) (d'Alembert)
f(h(x)) = cf(x) (Schröder)
f(h(x)) = f(x) + 1 (Abel).
  • Une forme simple d'équation fonctionnelle est la relation de récurrence, qui comprend une fonction inconnue définie sur l'ensemble des entiers et l'opérateur de translation.
Un exemple de relation de récurrence :
a(n) = 3a(n − 1) + 4a(n − 2)
  • Les lois commutatives et associatives sont des équations fonctionnelles. Quand la loi associative est exprimée sous sa forme habituelle, on représente une opération binaire par un symbole entre les deux variables, comme suit:
(a * b) * c = a * (b * c),
Mais si l'on écrit f(a, b) au lieu de a * b, alors la loi associative ressemble plus à ce que l'on entend conventionnellement par "équation fonctionnelle":
f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)).

Un point commun à tous ces exemples est que dans chacun des cas, deux ou plusieurs fonctions (tantôt la multiplication par une constante, tantôt l'addition de deux variables, tantôt la fonction identité) sont substituées à l'inconnue.

Quand il est question de trouver toutes les solutions, il arrive que certaines conditions analytiques soient exigées ; par exemple, dans le cas de l'équation de Cauchy, les solutions continues sont les solutions raisonnables alors que les autres solutions sont plus difficilement accessibles. Le théorème de Bohr-Mollerup est un autre exemple connu.

[modifier] Voir aussi