Zéroième groupe d'homologie
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Le zéroième groupe d'homologie d'un espace topologique X est le groupe, ou plutôt l'espace vectoriel, H0(X,A), où A est un anneau commutatif, et H*(X,A) désigne l'homologie singulière de X à coefficients dans A.
Un 0-simplexe de X est par définition une application continue où Δ0 est un singleton. Autrement dit, un 0-simplexe est un point de X. Avec cette identification, on a :
- C0(X,A) = A[X]
On dispose d'une application A-linéaire naturelle donnée par :
Théorème — L'application A-linéaire ε s'annule sur les bords et induit un morphisme A-linéaire :
- Si X est connexe par arcs, alors est un isomorphisme.
- Dans le cas général, H0(X,A) est isomorphe au A-module libre de base l'ensemble C des composantes connexes par arcs de X, et est l'application naturelle.
Démonstration
Supposons X connexe par arcs et démontrons que ε * est un isomorphisme de A-modules :
- Surjectivité :
- Injectivité : Soit avec . Fixons un point y de X, et pour chaque x, choississons un arc continu λx d'origine y et d'extrémité x. Alors :
Donc c est un bord.