Vote d'approbation proportionnel

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Le vote d'approbation proportionnel est un système de vote théorique utilisable pour pourvoir plusieurs sièges, imaginé par Forest Simmons en 2001.

Une méthode très proche, inventée par le mathématicien danois Thorvald N. Thiele fut utilisée quelques années en Suède, à partir de 1909.

[modifier] Mise en œuvre

Comme dans le vote par approbation, chaque électeur choisit les candidats qu'il accepterait de voir élus. Si, à l'issue des élections n de ses candidats sont élus, on lui attribue l'indice de satisfaction $1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n}$ , sinon on lui attribue un indice de satisfaction de 0. L'objectif est de rendre maximale la somme des indices de satisfaction.

Pour arriver à déterminer la meilleure solution, il faut en toute théorie les calculer toutes. Pour s sièges à pourvoir et c candidats, la combinatoire permet de dire qu'il faut envisager $C_c^s = {c \choose s} = \frac{c!}{s!(c-s)!}$ possibilités et faire alors, si le nombre de votants est v, $vC_c^s$ calculs. Par exemple, pour 1000 votants, 20 candidats, 10 sièges à pourvoir, il faut faire 184 756 000 calculs et comparer 184 756 résultats.

On peut envisager une variante consistant à compter, comme dans le vote par approbation, le nombre de voix obtenues par chaque candidat. Le candidat ayant obtenu le meilleur score est élu. On divise alors par 2 le poids des voix de tous ceux qui ont voté pour lui. On recommence alors le décompte pour élire le second candidat (celui qui obtiendra le plus de voix). Et ainsi de suite, en divisant par n+1 le poids des voix des électeurs ayant déjà eu n candidats de leur liste élus.

Si chaque électeur vote exclusivement pour tous les candidats d'un même parti on retrouve la méthode d'Hondt.

[modifier] Exemple

Considérons trois candidats A, B, C dont deux doivent être élus.

Supposont que les électeurs aient remplis comme suit leur bulletins de vote :

   * 10 électeurs : A, B
   * 20 électeurs : B, C
   * 20 électeurs : A
   * 30 électeurs : B
   * 10 électeurs : C

Calculons l'indice de satisfaction du couple (A, B) :

   * 10 électeurs : A, B --> 10 * 1,5 point = 15 points
   
   Ces électeurs votent pour les deux candidats et attribuent donc 1 + 1/2 point à ce couple.

   * 20 électeurs : B, C --> 20 * 1 point = 20 points
   * 20 électeurs : A --> 20 * 1 point = 20 points
   * 30 électeurs : B --> 30 * 1 point = 30 points

   Dans ces trois séries de bulletins de vote, les électeurs ont votés pour l'un des deux candidats et donne donc 1 point au couple (A, B).
   
   * 10 électeurs : C --> 10 * 0 point = 0 point

   Ce dernière série de bulletin n'a voté pour aucun candidat, ne donnant ainsi aucun point au couple (A, B).

L'indice de satisfaction du couple (A, B) est donc de 15 + 20 + 20 + 30 + 0, soit 85 points.

En appliquant la même méthode, nous obtenons 70 points pour le couple (B, C) et 60 points pour le couple (A, C).

Sont donc élus les candidats A et B.

[modifier] Second exemple

Supposons qu'il y ait 5 électeurs, 6 candidats (A, B, C, D, E, F) et 3 sièges à pourvoir et que le résultat des votes soit le suivant :

	A	B	C	D	E	F
Electeur 1	non	oui	oui	oui	oui	non
Electeur 2	oui	oui	oui	non	non	non
Electeur 3	non	oui	non	non	non	non
Electeur 4	oui	oui	non	non	oui	oui
Electeur 5	non	non	oui	oui	non	oui

La méthode maximisant l'indice de satisfaction demanderait de comparer 20 nombres et de faire 100 calculs!...

La variante peut s'envisager:

Le premier score donne pour A 2, pour B 4 pour C 3 pour D 2 pour E 2 pour F 2. B est donc élu. Pour élire le second candidat, les voix des électeurs 1, 2, 3, 4 sont divisées par 2.

	A	C	D	E	F
Electeur 1	non	oui	oui	oui	non
Electeur 2	oui	oui	non	non	non
Electeur 3	non	non	non	non	non
Electeur 4	oui	non	non	oui	oui
Electeur 5	non	oui	oui	non	oui
score	1	2	1,5	1	1,5

Le candidat C est donc élu. Les électeurs 1 et 2 ont leur poids divisé par 3 car ils ont déjà deux de leur candidats élus, les autres électeurs ont un poids de 1/2 puisqu'ils ont tous un candidat de leur liste élu.

	A	D	E	F
Electeur 1	non	oui	oui	non
Electeur 2	oui	non	non	non
Electeur 3	non	non	non	non
Electeur 4	oui	non	oui	oui
Electeur 5	non	oui	non	oui
score	5/6	5/6	5/6	1

Le dernier siège est octroyé à F

[modifier] Avantage et inconvénient

En toute théorie, cette méthode devrait amener une meilleure satisfaction des électeurs.

La mise en place d'un tel système impose le recours à un traitement informatique. Celui-ci est relativement simple à mettre en place mais demande une certaine puissance de calcul.

Les partis proches d'un parti majoritaire verraient le poids de leurs électeurs diminuer fortement si ceux-ci partagent leur vote entre les deux listes et risqueraient de ne pas avoir de siège. Ce système pousse au vote stratégique (ne voter que pour les candidats d'un parti, refuser de mettre un candidat acceptable sur sa liste pour diminuer ses chances d'être élu et favoriser les candidats préférés).