Variété cotangente

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En topologie différentielle, une variété cotangente est l'espace total du fibré cotangent d'une variété différentielle M. Rappelons que le fibré cotangent $T^*M\rightarrow M$ est le fibré dual du fibré tangent de M. Ses sections sont les 1-formes différentielles de M.

[modifier] Variétés cotangentes et géométrie riemannienne

Une métrique riemannienne g sur la variété différentielle M définit un isomorphisme de fibrés vectoriels $g:TM\rightarrow T^*M$ . Il existe une unique métrique riemannienne, abusivement notée g, sur le fibré cotangent $T^*M\rightarrow M$ telle que :

g (g v, g w) = g (v, w)

De même, l'isomorphisme g permet de transporter la connexion de Levi-Cevita en une connexion de Koszul sur $T^*M\rightarrow M$ .

Le fibré vertical est le sous-fibré vectoriel $\mathcal{V}$ de $T T * M$ défini par :

$\mathcal{V}=ker d\pi$

Le fibré horizontal est le sous-fibré vectoriel $\mathcal{H}$ correspondant à l'espace des variations premières du transport parallèle.

$\mathcal{H}_v={\dot{y}(0), y:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow T^*M, y(0)=v,\nabla_ty=0}$

Dans les notations ci-dessus, l'application $y:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow T^*M$ est regardée comme un champ de covecteurs le long de l'arc $x=\pi\circ y$ . Les fibrés horizontal et vertical permettent une description agréable du fibré tangent de la variété cotangente $T * M$ :

$TT^*M=\mathcal{H}\oplus\mathcal{V}\simeq \pi^*TM\oplus \pi^*T^*M$

Les fibrés vectoriels $π * T M$ et $π * T * M$ sont naturellement munis de métriques riemanniennes, abusivement notées g. Leur somme orthogonale définit une métrique riemannienne sur la variété cotangente $T * M$ , appelée métrique de Sasaki :