Discuter:Valeur propre

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Pour obtenir une solution du problèmes des valeurs propres, on regarde la matrice \chi := A-\lambda \cdot Id_{n \times n} (avec une matrice quadratique A \in \mathbb{K}^{n \times n}. Puis: det(χ) est un polynom du degré n dont points d'abscisse sont équivalents aux valeurs propres.

Il y a du vrai dans votre remarque, mais il fallait cliquer sur le lien polynôme caractéristique pour avoir des détails (encore que l'article actuel ne soit pas sans reproches). CD 29 jan 2005 à 14:43 (CET)

Sommaire

[modifier] Refonte de l'article

Je suis en train de refondre l'article. La motivation provient de trois objectifs:

  • Donner au contenu de l'article un caractère plus encyclopédique, en y adjoignant un historique, une partie de vulgarisation pour permettre la lecture d'au moins une partie de l'article aux non spécialistes, une partie application sur les métiers de l'ingénieur et la physique.
  • Transformer l'article en points de rencontre des grands sujets de l'algèbre linéaire, depuis la notion de base, de dimension, d'application linéaire, jusqu'au polynôme d'endomorphisme,aux réduction de Jordan, de Dunford.
  • Créer des ponts entre l'algèbre linéaire et d'autres thèmes comme l'algèbre bilinéaire et théorie spectrale. Ouvrir l'algèbre linéaire à des sujets connexes comme la physique et la chimie.

A terme, cela aura pour conséquence de vider de leurs contenus les articles Sous-espace propre et Vecteur propre. Si personne n'y voit d'inconvéniant majeur ces articles seront incorporés dans celui là et deviendront des indirections vers Valeur prope vecteur propre et espace propre. Jean-Luc W 4 avril 2006 à 16:11 (CEST)

[modifier] Sur l'avenir des trois articles valeurs propres, sous-espace propre et vecteur propre

Je suis avec intérêt , sans y participer, l'avenir de ces trois pages. Un article de fond me semble bien venu mais il me parait dommage de supprimer les deux autres. Certains souhaitent peut-être trouver des renseignements précis sur valeurs propres sans se farcir un long article de fond sur un sujet. D'autre part, il me semble que cet article de fond concerne davantage les vecteurs propres que les valeurs propres. La diagonalisation consiste à recherche une base de vecteurs propres. L'intro parle de vecteur propre (direction invariante). Je serais donc favorable, à terme, à ce que l'article principal s'appelle vecteur propre, que soient conservés les articles valeurs propres et sous-espace propres regroupant les propriétés principales et renvoyant sur l'article de fond. Autrement, je vous souhaite bon courage dans ce projet et vous conseille de contacter Vivarés qui a déjà travaillé sur des sujets voisins. HB 4 avril 2006 à 18:02 (CEST)

Pas de souci, je vais faire comme ça et merci de la réponse. Jean-Luc W 4 avril 2006 à 21:00 (CEST)

[modifier] Difficulté pour les concepts avancés

Je pense que se serait une erreur de ne pas évoquer la dimension spectrale des valeurs propres. En effet, une telle démarche conduirait à négliger tous l'apport de Hilbert sur les valeurs propres et donc imposerait de passer sous silence tous les aspects d'analyse fonctionelle qu'a apporté le XXeme siècle. On ne peut alors plus expliquer par exemple l'aspect essentiel des valeurs propre en mécanique quantique.

Cependant, faire le choix d'intégrer la dimension spectrale, impose de couvrir un domaine qui n'est pour l'instant presque pas traité dans Wikipédia. En dimension finie, l'algèbre bilinéaire est encore très partiellement traité. En analyse fonctionnelle, presque aucun des outils de base sont présents dans Wikipédia.

Pour palier cet état de fait, j'ai couvert quelques démonstrations d'algèbre bilinéaire dans l'article. j'ai conscience qu'à terme, ces notions devront être déplacées dans des articles sur les symétries hermitiennes, les endomorphismes autoadjoints ou les formes bilinéaires. Les définitions prendront alors une forme plus naturelles. Cependant, en l'absence de plan coordonné pour l'intégration de ces notions, j'ai introduit le minimum de définitions et de propositions indispensables, pour la compréhension des concepts.

Pour l'analyse spectrale, une approche équivalente imposerait la présentation de trop de théorèmes topologiques ou d'analyses fonctionnelles. la théorie des opérateurs est en effet encore largement inexistante. J'ai donc fait le choix d'omettre les démonstrations. En conséquence, il est difficile d'établir les bases mathématiques de la mécanique quantique. Jean-Luc W 9 avril 2006 à 14:12 (CEST)

[modifier] Valeurs propres et statistiques

Il faudrait détailler le rôle des valeurs propres en statistiques et en physique nucléaire. Est-ce nécessaire de le faire sur cet article? Au vu du contenu général de l'article, il faudrait sans doute se contenter d'y mettre des exemples, et de détailler le tour dans d'autres articles... Lehalle 10 avril 2006 à 10:22 (CEST)

Je pense qu'il suffit d'un exemple en quelques lignes et une jolie représentation graphique avec un effet Gutman, pour les statistiques. L'impact en physique nucléaire est détaillé dans la partie analyse spectrale avec pour exemple, la chimie quantique, cela te semble-t-il suffisant? Jean-Luc W 10 avril 2006 à 10:28 (CEST)
si tu peux faire ça, c'est excellent Lehalle 10 avril 2006 à 10:29 (CEST), en ce qui concerne les stats, je peux le faire, mais pas tout de suite... Lehalle 10 avril 2006 à 10:38 (CEST)

[modifier] Structure de l'algèbre linéaire, application linéaire

Comme le fait remarquer Utilisateur:Lehalle, l'algèbre linéaire souffre d'un manque de structure. Les articles ont été écrits les uns à la suite des autres sans véritable plan d'ensemble. Maintenant que l'essentiel de la matière est là, il est temps d'organiser et de structurer ce chapite. Je propose de structurer la partie traitant des applications linéaires de la manière suivante:

  • Les aspects théoriques et démonstrations se trouvent dans Polynôme d'endomorphisme
  • L'article Diagonalisation traite du cas général en dimension finie et fait référence aux polynômes d'endomorphismes, du cas normal en référence à des articles sur les formes bilinéaires, du cas de dimension infinie dans le cas des opérateurs autoadjoint compact en référence à des articles sur l'analyse fonctionnelle, et de leurs aspect topologique (densité) en référence à des articles sur la topologie.
  • L'article Réduction de Jordan devient l'article le plus encyclopédique et représente une synthèse et contient un historique symphatique.Il fait référence aux polynômes d'endomorphisme pour les démonstrations, illustre l'intérêt du concept dans le cas de système d'équations linéaires et dans le cas d'équation différentielle.
  • L'article Polynôme minimal fait référence au polynôme d'endomorphisme et montre des exemples pratiques d'utilisation.
  • Polynôme caractéristique expose le concept d'espace caractèristique et de valeur propre généralisée
  • Cayley Hamilton présente la preuve élégante.
  • Trigonalisation est un article sur les matrices qui présente l'intérêt en tant qu'outil de calcul illustre le propos dans le cas de système d'équation linéaire, il fait référence à la méthode du pivot et expose l'approche Schur.
  • Élimination de Gauss-Jordan fait référence à Trigonalisation et présente une approche simple.

Voilà une première série d'idées que je soumets à la communauté. J'ai commencé le travail pour les polynômes d'endomorphisme, qui permettra d'éviter une multitude de redites. Jean-Luc W 12 avril 2006 à 07:25 (CEST)

[modifier] Lecture de l'article au 17/4/2006

J'avais lu jusque là des morceaux de l'article. J'essaie de faire une lecture à la fois globale et détaillée. Il y a donc des remarques globales et des pinaillages idiots ! et bien sûr il y a à prendre et à laisser dans mes commentaires

  • je crois qu'il faut faire attention pour l'« accroche » à bien choisir entre valeur propre, vecteur propre et bien peser les premières phrases qui en donneront le sens.

Voilà une formulation que je tire de l'article déterminant : on recherche « des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les longueurs des vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres. » Il me semble que cette formule permet mieux de sentir ce qui se passe que la déf actuelle de « vecteur propre » : on ne cherche pas les vecteurs propres un par un, ils s'organisent par sous-espaces. Notamment sur la photo de Mme Lisa qui est ci-contre, on voit tout l'axe propre.

  • partie histoire : les développements modernes sont bien (ils resteront, c'est inévitable, impigeables pour beaucoup de lecteurs, mais il y a de jolis noms). La partie ancienne (jusqu'à la formalisation) est trop schématique. Il faudrait des éléments supplémentaires, notamment
    • signaler dès le début que les notions de base, matrice et application linéaire, n'existent pas jusqu'en 1850 (il faut marteler cela en algèbre linéaire à mon avis).
    • distinguer dans le déroulement l'histoire des outils (système d'équations linéaires et déterminant, à évoquer brièvement) de celle du concept de valeur propre.
    • autres idées ??? parler des transformations géométriques homothétie/affinité (connues de tout temps) ???
  • premiers exemples : les exemples géométriques sont bien choisis (il faudrait peut être les numéroter, ou les séparer physiquement par un autre procédé ?). La corde vibrante est compliquée à comprendre, mais je ne sais pas si c'est améliorable facilement.
  • suite du plan : je me demande si ce ne serait pas mieux (comme tu l'as si bien fait pour les déterminants) de faire passer « Applications mathématiques et physiques de la dimension finie » avant « Valeur propre en dimension finie », c'est-à-dire la pratique avant la théorie. Plus précisément
    • dans les paragraphes 2-3 ajouter la notion d'endomorphisme diagonalisable, sans méthode de caractérisation
    • mettre en paragraphe 4 le contenu de « Applications mathématiques et physiques de la dimension finie », illustrant la richesse de la situation 'diagonalisable'
    • mettre en paragraphe 5 le contenu de « Valeur propre en dimension finie », sous un autre titre, généralisant et classifiant les situations précédentes

La suite de l'analyse plus tard... Peps 18 avril 2006 à 00:33 (CEST)


J'appuie fortement la dernière proposition sur la structure du plan : il est dit au début de la partie <<Valeur propre en dimension finie>> que pour des systèmes compliqués, la notion de système n'est justement pas suffisante ; et du coup, on part sur endomorphisme puis diagonalisabilité ; je pense qu'un changement de plan tel que celui proposé rendrait plus convaincant le fait que ce qu'on gagne avec le point de vue endomorphisme, c'est justement cette notion de diagonalisabilité ; et du coup, les recherches de conditions pour la diagonalisabilité apparaîtaient moins comme une pure perversion que comme une recherche motivée et utile.Salle 20 avril 2006 à 21:44 (CEST)

[modifier] Lecture de l'article au 15/4/2006

Bonjour,
je viens de relire valeur propre (sauf les démonstrations pour lesquelles je te fais confiance !). Au passage j'ai corrigé quelques fôte d'aurtheaugrafe et revu le style par endroit. Cet article me plaît bien et correspond assez à l'idée que j'ai d'un article encyclopédique en maths : de l'histoire, des maths de niveaux variées et des applications. J'ai quand même quelques commentaires :

  • périmètre de l'article : peut-être que je me trompe, mais j'ai l'impression que l'article concerne presque autant les vecteurs propres que les valeurs propres. Du coup est-ce qu'il ne faudrait pas que les trois articles valeur propre, vecteur propre et espace propre donnent les infos de base et dirigent vers cet article de fond ? (je pose la question mais je ne sais pas...)
  • mise en page : ça vient peut-être de mon navigateur (firefox) mais chez moi il y a des passages où les images écrasent des bouts de texte.
  • histoire : partie très intéressante. Idéalement, j'aurais aimé qu'elle réponde aussi à la question "pourquoi ?" : quel était le(s) problème(s) que Jordan, Hilbert et consort cherchaient à résoudre pour avoir besoin de développer et formaliser ces concepts (j'ai un peu une vision de l'histoire des mathématiques dans laquelle les progrès et les évolutions se font pour répondre à des questions ou des problèmes, mais je me trompe peut-être).
  • style : OK, là ça ne fait pas cours de maths. J'ai fait quelques modifs par endroit, mais j'en ai peut-être laissé passer (du type Cependant la topologie cache bien des surprises pour les espaces fonctionnelles. : je ne suis pas sûr que la topologie est suffisamment conscience d'elle-même pour nous cacher volontairement des surprises :-). Une autre relecture et ça devrait être OK.
  • hypothèses et conditions. J'ai eu l'impression en lisant que la partie 6 (Théorie Spectrale) ser relâche par moment d'un point de vue rigueur. Notamment, je ne suis pas sûr que soit clairement exprimé ce qui relève de la généralité, de la condition nécessaire ou de la simplification, notamment dans le paragraphe 6.4)
  • fin de l'article : là encore je critique sans savoir trop quoi proposer, mais je trouve la fin de l'article un peu abrupte. Notamment je n'ai pas la réponse à une question : est-ce que cet aspect de l'algèbre linéaire fait encore de nos jours l'objet de travaux mathématiques, ou est-ce que le tour en a été totalement fait ?

Voilà un peu ce qui ressort de ma lecture ! N'hésite pas si tu veux en discuter, en bon week-end :-) David Berardan 15 avril 2006 à 11:49 (CEST)

[modifier] sujet de l'article

Je trouve que vous avez une conception de la notion de valeur propre un peu restrictive: Que faites vous des valeurs propres dans une équation différentielle (ex: equation de schrödinger pour prendre la plus célèbre)? Il n'y a plus de vecteur propre à proprement parler mais une notion de fonctions propres associées à une valeur propre. On arrive alors à un espce de Hilbert dans les bons cas... Mais cela est tout de même assez différent de la notion de valeur propre dans un espace vectoriel.Claudeh5 (d) 24 novembre 2007 à 13:24 (CET)

Elle est traité dans l'article long associé : on y traite de l'équation de Schrödinger et des Hilbert. C'est l'idée des articles courts, une définition rapide est un sujet plus amplement détaillé sur Valeur propre, vecteur propre et espace propre. Jean-Luc W (d) 24 novembre 2007 à 14:27 (CET)
ah oui, c'est exact. Dans l'article long: Bon, je remarque tout de même qu'il y a plus de texte que de formules et qu'on est loin d'un développement détaillé.Au fait, rien sur la localisation des valeurs propres ? Pas de remarque sur le calcul des déterminants ? rien sur le théorème de Hadamard ?Claudeh5 (d) 24 novembre 2007 à 15:44 (CET)