Unité (chiffre)

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En arithmétique, on appelle unité, ou chiffre de l'unité, le chiffre le plus à droite dans un nombre entier de plusieurs chiffres (ou le chiffre unique dans un nombre à un seul chiffre).

Exemple : l'unité, ou chiffre de l'unité, du nombre 59247 est le chiffre 7 (le chiffre des dizaines est 4, celui des centaines 2, ...).

Une singularité à signaler: si on élève un nombre entier quelconque à la puissance 9, le nombre entier résultant conserve son unité.

Soit, en langage mathématique : ∀n∈ℤ, u( $n 9$ )=u(n), où u(n) est le chiffre des unités de n.

En effet, considérons les cubes des dix premiers nombres entiers positifs :

$03$ = 0
$13$ = 1
$23$ = 8
$33$ = 27
$43$ = 64
$53$ = 125
$63$ = 216
$73$ = 343
$83$ = 512
$93$ = 729

On peut en déduire, en conservant la notation u(n) pour désigner la fonction d'unité :

u( $03$ ) = 0
u( $13$ ) = 1
u( $23$ ) = 8
u( $33$ ) = 7
u( $43$ ) = 4
u( $53$ ) = 5
u( $63$ ) = 6
u( $73$ ) = 3
u( $83$ ) = 2
u( $93$ ) = 9

Or, la puissance 9 est également le cube du cube, donc :

u( $n^9)=u(n^{3\times{3}})=u((n^3)^3)=u(u(n^3)^3)$

On obtient ainsi :

u( $09) = u (u (0 3) 3) = u (0 3) = 0$
u( $19) = u (u (1 3) 3) = u (1 3) = 1$
u( $29) = u (u (2 3) 3) = u (8 3) = 2$
u( $39) = u (u (3 3) 3) = u (7 3) = 3$
u( $49) = u (u (4 3) 3) = u (4 3) = 4$
u( $59) = u (u (5 3) 3) = u (5 3) = 5$
u( $69) = u (u (6 3) 3) = u (6 3) = 6$
u( $79) = u (u (7 3) 3) = u (3 3) = 7$
u( $89) = u (u (8 3) 3) = u (2 3) = 8$
u( $99) = u (u (9 3) 3) = u (9 3) = 9$

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Catégorie : Arithmétique

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