Tribu produit

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Sommaire

1 Définition
2 Exemple: tribu borélienne produit
3 Produit de n tribus
4 Produit dénombrable de tribus

[modifier] Définition

Étant donné deux espaces mesurables $(\Omega_1,\mathcal{T}_1)$ et $(\Omega_2,\mathcal{T}_2)$ , la tribu produit , notée $\mathcal{T}_1\otimes \mathcal{T}_2$ , permet de donner une structure d'espace mesurable à l'espace produit $\Omega_1\times \Omega_2$ ; elle est définie de la façon suivante:

$\mathcal{T}_1\otimes \mathcal{T}_2$ est la tribu engendrée par les pavés mesurables $R=R_1\times R_2$ où $R_1\in \mathcal{T}_1, R_2\in \mathcal{T}_2$ ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables
on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections $p r 1$ et $p r 2$ définies par: $pr_i(\omega_1,\omega_2)=\omega_i , \ i=1, 2$

On montre très facilement qu'une application f, définie sur un espace mesurable $(\Omega,\mathcal{A})$ à valeur dans l'espace produit $(E_1\times E_2,\mathcal{T}_1\otimes \mathcal{T}_2)$ est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées $f i$ sont, chacune, mesurables pour les tribus $\mathcal{T}_i$ .

[modifier] Exemple: tribu borélienne produit

Étant donnés deux espaces topologiques $(\Omega_1,\mathcal{O}_1)$ et $(\Omega_2,\mathcal{O}_2)$ munies de leurs tribus boréliennes respectives $\mathcal{B}_1$ et $\mathcal{B}_2$ . Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit $\Omega_1\times \Omega_2$ une structure d'espace mesurable:

à partir de la tribu produit $\mathcal{B}_1\otimes \mathcal{B}_2$
à partir de la tribu borélienne engendrée par la structure topologique $\mathcal{O}_1\otimes \mathcal{O}_2$ , notée $\mathcal{B}(\mathcal{O}_1\otimes \mathcal{O}_2)$ .

On a toujours: $\mathcal{B}_1\otimes \mathcal{B}_2 \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{O}_1\otimes \mathcal{O}_2)$ .

En effet, les projections $p r i$ sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

Si les espaces topologiques $(\Omega_i,\mathcal{O}_i)$ sont à base dénombrable alors $\mathcal{B}_1\otimes \mathcal{B}_2 = \mathcal{B}(\mathcal{O}_1\otimes \mathcal{O}_2)$ .

En effet, soit U un ouvert de $\mathcal{O}_1\otimes \mathcal{O}_2$ , alors U est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme $U_{1}\times U_{2}$ (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit): par conséquent $U \in \mathcal{B}_1\otimes \mathcal{B}_2,$ d'où $\mathcal{B}(\mathcal{O}_1\otimes \mathcal{O}_2) \subseteq \mathcal{B}_1\otimes \mathcal{B}_2$ .

[modifier] Produit de n tribus

Le produit d'un nombre fini, disons n, de tribus se définit de façon similaire: il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables $R_1\times ... \times R_n$ . Les propriétés énoncées pour le produit de 2 tribus s'étendent sans difficulté au cas de n tribus.

[modifier] Produit dénombrable de tribus

Si on considère maintenant un produit dénombrable d'ensemble mesurable, par exemple $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , la tribu produit $\displaystyle{\bigotimes_{n \in \mathbb{N}}\mathcal{T}_n}$ , définie sur le produit des ensembles mesurables $\displaystyle{\prod_{n \in \mathbb{N}}(\Omega_n,\mathcal{T}_n})$ est la tribu engendrée par les ensembles de la forme $\displaystyle{\prod_{n \in \mathbb{N}}R_n}$ où $R n = Ω n$ sauf pour un nombre fini d'indices n.