Tri à bulles

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Le tri à bulle ou tri par propagation est un algorithme de tri très critiqué à cause de sa lenteur d'exécution. Il consiste à faire remonter le plus grand élément du tableau (comme une bulle d'air remonte à la surface) en comparant les éléments successifs. C'est-à-dire qu'on va comparer le 1^er et le 2^e élément du tableau, conserver le plus grand et puis les échanger s'ils sont désordonnés les uns par rapport aux autres. On recommence cette opération jusqu'à la fin du tableau. Ensuite, il ne reste plus qu'à renouveler cela jusqu'à l'avant-dernière place et ainsi de suite… On arrête quand le tableau à trier est de taille 1 ou qu'on n'a pas fait d'échanges au dernier passage.

Pour trier un tableau A de taille N, le nombre de comparaisons entre paires d'éléments est donc au plus $N(N-1) \over 2$ . Le nombre d'échanges de paires d'éléments successifs est égal au nombre de couples (i,j) tels que i < j et A(i) > A(j). Ce nombre d'échanges est indépendant de la manière d'organiser les échanges. Pour un tableau aléatoire, il est en moyenne égal à $N(N-1) \over 4$ . Le tri à bulle utilisera donc sur un ordinateur un temps proportionnel à N², ce qui est lent par comparaison avec les algorithmes en $n log n$ .

Exemple du tri à bulle utilisant une liste de nombres aléatoires

Un dérivé du tri à bulle est le shakersort ou tri cocktail. Cette méthode de tri est basée sur une simple observation du comportement du tri à bulle : quand on fait un passage pour trier le maximum du tableau, on a tendance à déplacer les éléments les plus petits du tableau vers le début de celui-ci. Donc l'astuce consiste à alterner les sens de passage de notre bulle. Bien que le nombre d'échanges à effectuer soit identique (voir ci-dessus), on obtient un tri un peu plus rapide que la bulle. En effet, lors des changements de sens, cet algorithme relit les données les plus récentes et qui sont donc encore dans le tampon (cache) de la mémoire. Mais le temps d'exécution est toujours proportionnel à N² donc médiocre.

[modifier] Complexité

Pour un tableau de taille n, la boucle for sera exécutée n-1 fois et while sera exécutée une fois si permut == faux, c'est-à-dire le tableau est trié n-1 fois si permut est vrai.

Meilleur cas : O(n) le tableau est trié : n * 1 = o(n)
Pire cas: o(n²) le tableau est trié en ordre inverse (n -1)*(n-1) = o(n²)

[modifier] Implémentations

Une mise en œuvre simple du tri à bulle sur un tableau d'entiers en C :

#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef int tab_entiers[MAX];
 
void tri_a_bulle(tab_entiers t) 
{
        int i   = 0; /* Indice de répétition du tri */
        int j   = 0; /* Variable de boucle */
        int tmp = 0; /* Variable de stockage temporaire */
 
        /* Booléen marquant l'arrêt du tri si le tableau est ordonné */
        int en_desordre = TRUE; 
        /* Boucle de répétition du tri et le test qui
           arrête le tri dès que le tableau est ordonné */
        for(i = 0 ; (i < MAX) && en_desordre; i++)
        {
                /* Supposons le tableau ordonné */
                en_desordre = FALSE;
                /* Vérification des éléments des places j et j-1 */
                for(j = 1 ; j < MAX - i ; j++)
                {
                        /* Si les 2 éléments sont mal triés */
                        if(t[j] < t[j-1])
                        {
                                /* Inversion des 2 éléments */
                                tmp = t[j-1];
                                t[j-1] = t[j];
                                t[j] = tmp;
 
                                /* Le tableau n'est toujours pas trié */
                                en_desordre = TRUE;
                        }
                }
        }
}

Une amélioration en C++ :

void tri_a_bulle(int *t, int size) 
{
        bool en_desordre=true;
        for (int i=0; i<size && en_desordre; ++i)
        {
                en_desordre=false;
                for (int j=1; j<size-i; ++j)
                        if (t[j]<t[j-1])
                        {
                                int tmp=t[j-1];
                                t[j-1]=t[j];
                                t[j]=tmp;
                                en_desordre=true;
                        }
        }
}

Une implémentation en Pascal (en ordre croissant) :

const
  MAX = 100; (* MAX = 100 est donné en exemple seulement *)
 
type
  tab = array [1..MAX] of integer;
 
procedure TriBulle(n: integer ; var t: tab);
var
  i, j, tmp: integer;
 
begin
  (* On va trier les n-1 premiers éléments du tableau *)
  for i := 1 to n - 1 do
  begin
    j := i;
    (* L'éléments d'indice i doit reculer *)
    (* Jusqu'à prendre sa place           *)
    while (j >= 1) and (t[j + 1] < t[j]) do
    begin
      tmp := t[j];
      t[j] := t[j + 1];
      t[j+1] := tmp;
      j := j - 1;
    end;
  end;
end;

Une implémentation en Java :

public static void triBulle(int tableau[])
       {
       int longueur=tableau.length;
       boolean permut;
 
       do
           {
           //hypothése : le tableau est trié
           permut=false;
           for(int i=0;i<longueur-1;i++)
               {
               //Teste si 2 éléments successifs sont dans le bon ordre ou non
               if(tableau[i]>tableau[i+1])
                   {
                   //s'ils ne le sont pas on échange leurs positions
                   echanger(tableau,i,i+1);
                   permut=true;
                   }
               }
            }
       while(permut);
       }

Une implémentation en PHP :

function bubble_sort($array){
    $count = count($array);
    if ($count <= 0) return false;
    for($i=0; $i<$count; $i++){
        for($j=$count-1; $j>$i; $j–){
            if ($array[$j] < $array[$j-1]){
                $tmp = $array[$j];
                $array[$j] = $array[$j-1];
                $array[$j-1] = $tmp;
             }
         }
     }
    return $array;
}