Topologie discrète
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En mathématiques, la topologie discrète associée à un ensemble est une topologie où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres.
[modifier] Définitions
Soit X un ensemble. L'ensemble des parties de X définit une topologie sur X appelée topologie discrète. X muni de cette topologie est alors un espace topologiquement discret.
[modifier] Propriétés
La topologie discrète est la topologie possédant le plus d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensemble X.
Parmi les autres propriétés d'un tel espace topologique X :
- Tout sous-ensemble de X est ouvert et fermé.
- Les singletons de X forment une base.
- X satisfait à tous les axiomes de séparation. En particulier, X est un espace de Hausdorff.
- X est compact si et seulement s'il est fini.
- Toute fonction dont l'ensemble de définition est un espace X topologiquement discret et l'ensemble d'arrivée un espace topologique est continue.
- Si X est un espace métrique, X est complet. Il est borné, et totalement borné s'il est fini.
- Tout point de X admet une base dénombrable ; X est à base dénombrable s'il est dénombrable.
- X est totalement disjoint.
- Si X est non vide, c'est un espace de deuxième catégorie.
- Deux espaces topologiquement discrets de même cardinalité sont homéomorphes.
