Utilisateur:Tinius/Bac à sable/médiale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En statistiques ou en probabilités, la médiale est un indicateur de valeur centrale, à ne pas confondre avec la médiane.

Sommaire

[modifier] Définitions

[modifier] Médiale d'une variable aléatoire

Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, sa médiale est la valeur qui partage sa masse en deux parties de même poids. Si X suit la loi de probabilité P, la médiale est la valeur m telle que :

\int_{-\infty}^m X\, dP=\int_{m}^{+\infty} X\,dP =\frac{1}{2}\ E(X)

[modifier] Médiale d'un échantillon

Soit (x_i)_{i\in I} un échantillon statistique. La médiale est la valeur xN où N est tel que:


Comme la médiane, il se peut, pour certains choix de classes d'éléments, que la médiale d'un échantillon n'est pas unique.

[modifier] Exemples

[modifier] Médiale d'une variable aléatoire

Si X suit une loi exponentielle de paramètre 1 (i.e. si sa densité est f(t) = exp(-t)) alors sa médiane est de ln(2)

En revanche son espérance est de 1 donc sa médiale sera la valeur de M pour laquelle int[0,M](texp(-t)dt) = 1/2 soit numériquement une valeur de l'ordre de 1,6


[modifier] Médiale d'un échantillon

Dans une classe de 30 élèves de CM2, chaque enfant reçoit chaque jour de l'argent de poche de ses parents pour acheter son gouter. Une étude sur la classe a donné le tableau de statistiques suivant:

1 euro.... 20 euros (pour un gouter au Ritz

La médiane est de tant

La médiale est de M=tant, ce qui signifie que si les enfants qui reçoivent moins de M mettent tous leurs sous en commun, ils réuniront la même somme que si tous les enfants qui ont plus de M mettent leurs sous en commun.

[modifier] Comparaison avec l'espérance et la médiane

On considère une variable aléatoire X, on note Ml sa médiale, Mn sa médiane.

[modifier] Cas X>0

On présente ici le cas où X prend des valeurs positives, qui est le cas le plus courant (X désigne par exemple un salaire, une population, un taux). On a alors :\int_{-\infty}^{Ml} X\, dP=\int_{Ml}^{+\infty} X\,dP = \frac{1}{2}\ E(X)

On a alors de manière assez intuitive Ml > Mn en effet,

\int_{-\infty}^m X\, dP=\int_{m}^{+\infty} X\,dP =

[modifier] Cas X<0

[modifier] Cas général

Dans le cas général on ne peut pas prévoir de relation d'ordre entre médiane, espérance, et médiale.