Théorie des corps de classes locaux

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En mathématiques, la théorie des corps de classe locaux est l'étude en théorie des nombres des extensions abéliennes des corps locaux. Cette théorie peut être considérée comme complète. Il faut remarquer qu'au début du 20ème siècle, après les travaux de Takagi et Artin qui complétèrent les théories des corps de classes, les résultats locaux se déduisaient des résultats globaux. Actuellement, c'est le point de vue inverse qui est le plus répandu : les résultats locaux sont établis au préalable, puis permettent de déduire les correspondances globales.

La théorie de base concerne, pour un corps local K, la description du groupe de Galois G de l'extension abélienne maximale de K. Ceci est relié à K^×, le groupe multiplicatif de K\{0}. Ces groupes ne peuvent pas être égaux : en tant que groupe topologique G est profini et donc compact, alors que K^× n'est pas compact.

En prenant le cas où K est une extension finie de $Q_p\,$ , l'ensemble des nombres p-adiques, nous pouvons dire plus précisément que K^× possède la structure d'un produit cartésien d'un groupe compact avec un groupe cyclique infini. L'opération topologique principale est de remplacer le groupe cyclique infini par un groupe $\hat\mathbb{Z}$ , i.e. son complété profini suivant ses sous-groupes d'indice fini. Ceci peut être fait en mettant une topologie sur K^×, pour laquelle nous pouvons compléter. Grossièrement, la théorie du corps de classes locale identifie alors le groupe obtenu avec G.