Théorie des catastrophes

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Dans le domaine de l'analyse fonctionnelle, la théorie des catastrophes, fondée par René Thom, a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie, donnée empiriquement, ou un ensemble de phénomènes discontinus.

Plus précisément, il s'agit d'étudier qualitativement comment les solutions d'équations dépendent du nombre de paramètres qu'elles contiennent. Le terme de "catastrophe" désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.

La force de cette théorie par rapport au traitement habituel des équations différentielles est de tenir compte des fonctions comportant des singularités, c'est-à-dire des variations soudaines.

[modifier] Théorème de la classification

Le résultat le plus fondamental obtenu est qu'il n'existe que sept formes de "catastrophes" possibles pour toutes les équations comportant au plus quatre paramètres. Chacune d'elles a reçu un nom en rapport avec sa forme :

le pli (pour un paramètre en entrée et un en sortie) : $y = x 3 + a x$
la fronce (pour deux paramètres) : $y = x 4 + a x 2 + b x$
la queue d'aronde : $y = x 5 + a x 3 + b x 2 + c x$
l'ombilic hyperbolique (la vague) : $z = x 3 + y 3 + a x y + b x + c y$
l'ombilic elliptique (le poil) : $z = x 3 / 3 - x y 2 + a (x 2 + y 2) + b x + c y$
le papillon : $y = x 6 + a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x$
l'ombilic parabolique (le champignon) : $z = x 2 y + y 4 + a x 2 + b y 2 + c x + d y$

[modifier] Applications

Ses applications sont d'abord en simulations d'objets naturels.

On la retrouve aussi dans d'autres domaines : géologie, mécanique appliquée, hydrodynamique, optique géométrique, physiologie, biologie, linguistique.

Erik Christopher Zeeman a, de façon controversée, étendu son application aux sciences humaines.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, Paris, 1977
(en) Vladimir Arnol'd. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.