Théorie de Galois différentielle

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La théorie de Galois différentielle est une branche des mathématiques qui a pour objet l'étude des équations différentielles via des méthodes algébriques, plus particulièrement des méthodes issues de la théorie de Galois pour les équations algébriques.

Elle admet plusieurs formulations différentes. La plus élémentaire est la théorie dite de Picard-Vessiot. Elle concerne les équations différentielles linéaires, et consiste en la construction d'une théorie des extensions corps différentiels analogue à la théorie classique des extensions de corps : l'exemple de base est le corps des fractions rationnelles à coefficients complexes, muni de la dérivation usuelle. Notamment, un analogue des corps de décomposition d'une équation donnée peut être défini, comme étant, en un certain sens, le plus petit corps différentiel contenant les solutions de l'équation (voir anneau de Picard-Vessiot). Le groupe de Galois différentiel de équation est alors défini comme le groupe des automorphismes de l'extension de corps différentiels. Il est naturellement muni d'une structure de groupe algébrique linéaire, et permet d'obtenir une correspondance de Galois entre sous-groupes fermés pour la topologie de Zariski du groupe de Galois, et sous-extensions de corps différentiel.

Dans un contexte analytique, par exemple si le corps de base est le corps des fractions rationnelles à coefficients complexes muni de la dérivation usuelle, le groupe de monodromie d'une équation différentielle holomorphe en une singularité isolée s'identifie naturellement à un sous-groupe du groupe de Galois : il est défini par une action géométrique sur les espaces de solutions. Dans le cas où les singularités sont singulières régulières, il s'agit même d'un sous-groupe dense pour la topologie de Zariski. Ce n'est toutefois pas un résultat général, et, pour des singularités irrégulières, d'autres sous-groupes du groupe de Galois remarquables d'un point de vue analytique peuvent être identifiées (voir phénomène de Stokes).

Un autre point de vue est le point de vue dit tannakien, qui consiste à considérer non plus le groupe de Galois lui-même, mais la catégorie de ses représentations.

Des développements plus récents, notamment dus à Bernard Malgrange, permettent la définition d'une théorie de Galois pour les équations différentielles non linéaires. L'objet galoisien n'est plus alors qu'un groupoïde.