Théorème des deux lunules

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Le théorème des deux lunules est un ancien théorème de géométrie plane

Sommaire

1 Histoire
2 Énoncé
3 Démonstration
4 Voir aussi

[modifier] Histoire

Ce théorème est très ancien : Hippocrate de Chios (-500) étudia aussi la duplication du cube, c’est-à-dire $2 1 / 3$ (ne pas confondre avec Hippocrate(-460,-377)). On l'appelle aussi les lunules d'Hippocrate.

[modifier] Énoncé

Soit le triangle ABC rectangle en B et $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).

La lunule $L B C$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par $\mathcal{C}$ .

La lunule $L B A$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par $\mathcal{C}$ .

Alors la somme des aires de $L B C$ et de $L B A$ (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).

[modifier] Démonstration

Soit un triangle ABC rectangle en B

Les deux petites parties blanches sont le demi-cercle de diamètre AC privé du triangle ABC. Leur aire est donc $A i r e (A C) - A i r e (A B C)$

Les deux lunules sont les deux demi-cercles de diamètre AB et BC privés des parties blanches. Leur aire est donc $A i r e (A B) + A i r e (B C) - (A i r e (A C) - A i r e (A B C))$ . Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que $A i r e (A B) + A i r e (B C) - A i r e (A C) = 0$ . C'est à dire que l'aire des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.

Or le théorème de Pythagore nous dit que $A C 2 = A B 2 + B C 2$ . Donc en multipliant par $\frac{\pi}{4}$ on a que $\pi \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2+\pi \left(\frac{BC}{2}\right)^2$ , ce qui est l'égalité des aires recherchées.