Théorème de plongement de Nash

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Le théorème de plongement de Nash (d'après le nom du mathématicien John Forbes Nash) affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien de type \mathbb{R}^n.

"De manière isométrique" veut dire "conservant la longueur des courbes". Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :

  • Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C1. Il est peu intuitif mais se démontre facilement.
  • Le second (1956), portant sur les variétés de classe Ck où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.

Sommaire

[modifier] Théorème de plongement C1 (Nash-Kuiper)

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et f:M^m\to E^n un encastrement lisse et court C^\infty dans un espace euclidien En où n\ge m+1. Alors pour tout ε > 0 il existe un encastrement f_\epsilon:M^m\to E^n ayant les propriétés suivantes :

(i) fε est de classe C1,
(ii) fε est isométrique, i.e. pour tout couple de vecteurs v,w\in T_x(M) dans l'espace tangent en x\in M on a g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle.
(iii) | f(x) − fε(x) | < ε pour tout x\in M.

En particulier, toute variété riemannienne de dimension m admet une isométrie de classe C1 dans un espace euclidien de dimension 2m.

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C1-plongée dans une boule de taille arbitrairement petite d'un espace euclidien à 3 dimensions (d'après la formule de Gauss, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C3 ; la question est ouverte pour les plongements C2 )

[modifier] Théorème de plongement Ck

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe Ck avec k > 3). Alors il existe un nombre n (n = m2 + 5m + 3 suffit) et un plongement injectif f : M^{m} \to \mathbb{R}^n (également analytique ou de classe Ck) tel qu'en tout point p de M,

\forall u,v \in T_p M, g(u,v) = df_p(u).df_p(v) où . est le produit scalaire canonique de \mathbb{R}^n.

[modifier] Bibliographie

  • N.H.Kuiper: "On C1-isometric imbeddings I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 58 (1955), pp 545-556.
  • John Nash: "C1-isometric imbeddings", Annals of Mathematics, 60 (1954), pp 383-396.
  • John Nash: "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1956), pp 20-63.
  • John Nash: "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data" Annals of Mathematics, 84 (1966), pp 345-355.

[modifier] Voir aussi