Théorème de la bijection

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Soit f une fonction continue de \mathbb R dans \mathbb R et strictement monotone sur un intervalle I. Alors la fonction f réalise une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle J=f(I)=\{f(x)/x\in I\}.

Autrement dit l'application

\begin{matrix}g:&I&\rightarrow &f(I)\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}

est bijective.



Sommaire

[modifier] Remarques

Ce théorème permet de bâtir une large famille de fonctions élémentaires essentielles à l'élaboration de la branche des mathématiques appelée analyse.

  • Les fonctions définies de \mathbb{R}_+ dans \mathbb{R}_+ qui à x\, associent \sqrt[n]{x}\, sont les fonctions réciproques des fonctions définies de \mathbb{R}_+ dans \mathbb{R}_+ qui à x\, associent x^n\,.
  • les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques classiques comme : \operatorname{Arcsin}\, \operatorname{Arccos}\, \operatorname{Arctan}\, sont aussi définies grâce à ce théorème.

Ce théorème n'est pas vrai sur les nombre rationnels, ce qui a empêché une construction rigoureuse de l'analyse jusqu'au XIXe siècle. Pour une approche rigoureuse, il a fallu attendre les travaux de Dedekind et de Cauchy qui ont fourni une construction des nombres réels.

[modifier] Utilisation pratique

Remarquons que l'application f donnée n'est pas forcément bijective. Dans la pratique, pour appliquer ce théorème, nous devons

  • vérifier que f est continue sur I,
  • vérifier que f est strictement monotone,
  • déterminer l'intervalle f(I) qui est de même type que l'intervalle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert), dont les bornes sont les limites de f aux bornes de I, ou les valeurs que prend f aux bornes.

[modifier] Conséquence

Formulations équivalentes à cette conséquence du théorème :
- pour tout élément k de f(I), il existe un unique c de I tel que f(c) = k
- pour tout élément k de f(I), l'équation f(x) = k d'inconnue x admet une unique solution dans I.

[modifier] Démonstration

On suppose que f est strictement croissate

Donc g\, est une bijection.