Théorème de dérivation des fonctions composées

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En mathématiques, dans le domaine de l'analyse, le théorème de dérivation des fonctions composées (parfois appellé règle de dérivation en chaîne, selon l'appellation anglaise) est une formule explicitant la dérivée d'une fonction composée.

[modifier] Cas réel

[modifier] Enoncé et démonstration

Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ . Et soient $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ et $g:J \longrightarrow \mathbb{R}$ des fonctions telles que $f(I) \subset J$ .

Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ est dérivable sur $f (I)$ alors la composée $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et : $(g \circ f)'=(g' \circ f)\times f'$ .

Il est aussi possible de l'écrire avec la notation de Leibniz sous la forme:

$\frac {\text{d}f}{\text{d}x} = \frac {\text{d}f} {\text{d}g} \frac {\text{d}g}{\text{d}x}$

où $\frac {\text{d}f} {\text{d}g}$ indique que $f$ dépend de $g$ comme si $g$ était une variable.

Pour une meilleure lecture on pose souvent $u = g(x)\,$ et on obtient :

$\frac {\text{d}}{\text{d}x} f \circ g(x) = \frac{\text{d}f(u)}{\text{d}u} \cdot \frac {\text{d}u}{\text{d}x}$

Démonstration

Soit $a \in I$ . D'après nos hypothèses $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $f (a)$ . Formons la limite du taux d'accroissement de la fonction $g \circ f$ en prenant un $h \in \mathbb{R}$ :

$\lim_{h \to 0} \frac{(g \circ f)(a+h)-(g \circ f)(a)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}$

On pose $k = f (a + h) - f (a)$ . Clairement $\lim_{h \to 0} k=0$

Il vient donc :

$\begin{array}{ll} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}&=\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{h}\\ &=\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{k}\frac{k}{h}\\ &=\displaystyle \lim_{k \to 0} \frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{k} \lim_{h \to 0}\frac{k}{h}\\ &=\displaystyle \lim_{k \to 0} \frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{k} \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ &=g'(f(a))f'(a) \end{array}$

Ce qui prouve que notre théorème est vrai au point $a$ . On le généralise facilement à tout l'intervalle $I$ .

[modifier] Exemple

Formons la dérivée sur $\mathbb{R}$ de $e cos(x)$ . Notre théorème indique qu'il faut d'abord dériver la fonction "la plus à l'extérieur". La dérivée de $e x$ est $e x$ . Maintenant on dérive "l'intérieur" : $cos(x)$ ce qui donne $- sin(x)$ . Notre dérivée est donc : $- sin(x) e cos(x)$ .

[modifier] Applications

C'est de cette règle que découle la règle du changement de variable pour le calcul d'intégrales.

[modifier] Cas général

On se place dans l'espace $\mathbb{R}^n$ . Si les fonctions réelles $\,f_1(x),f_2(x),... ,f_p(x)$ sont dérivables sur $\Omega\subset\R^n$ et si la fonction $\,F$ est continuement dérivable sur $\omega\subset\R^p$ tel que $[\,f_1(x),f_2(x),... ,f_p(x)]\subset\omega$ , $\forall x\in\Omega$ ,

alors la fonction $g(x)= F[\,f_1(x),f_2(x),... ,f_p(x)]$ est dérivable et on a :

$\frac{\partial g}{\partial x_k}(x)=\sum_{i=1}^{p}\frac{\partial F}{\partial X_i}[f_1 (x), f_2 (x), ... , f_p (x)]\frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x)$