Théorème de Poincaré-Hopf

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En mathématiques, le théorème de Poincaré–Hopf (aussi connu sous le nom de formule de Poincaré–Hopf, ou théorème de l'index de Poincaré–Hopf, ou encore théorème de l'index de Hopf) est un important résultat en géométrie différentielle. Il porte le nom de Henri Poincaré et Heinz Hopf.

Théorème — Soit M une variété différentielle compacte. Soit v un champ vectoriel sur M avec des zéros isolés. Si M a un bord, il est nécessaire d'insister sur le fait que v pointe vers la normale extérieure le long du bord. Nous avons alors la formule suivante :

\sum_i \operatorname{index}_v(x_i) = \chi(M)

ou la somme s'étend sur tous les zéros isoles de v et χ(M) est la caractéristique d'Euler de M.

Ce théorème a été prouvé en 2 dimensions par Henri Poincaré et généralisé ultérieurement par Heinz Hopf.