Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt

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En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des algèbres de Lie, le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt est un théorème fondamental qui permet de décrire précisement la structure de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie.

[modifier] Énoncé

Soit \mathfrak{g} une algèbre de Lie, \mathcal{B} une base de \mathfrak{g}. On suppose que \mathcal{B} est totalement ordonnée. On appelle monome canonique toute suite finie (x_1,\dots,x_n) d'éléments de \mathcal{B} croissante au sens large (c'est-à-dire que pour tout 1\leq i \leq n, x_i \leq x_{i+1}).

La définition de l'algèbre enveloppante U(\mathfrak{g}) de \mathfrak{g} assure l'existence d'une application linéaire

L:\mathfrak{g} \longrightarrow U(\mathfrak{g})

On étend L aux monomes canoniques en posant

L(x_1,\dots,x_n)=L(x_1)L(x_2)\dots L(x_n)

ce qui a un sens puisque U(\mathfrak{g}) est une algèbre associative.

Le théorème proprement dit est le suivant:

L'application L définit une injection de \mathfrak{g} dans U(\mathfrak{g}), et l'ensemble des images par L des monomes canoniques est une base de U(\mathfrak{g}).

Autrement dit, soit Y=L(\mathcal{B}). Alors l'ensemble

\{ y_1^{k_1}\dots y_l^{k_l}, y_i \in Y, y_i \leq y_{i+1} \}

est une base de U(\mathfrak{g}).

[modifier] Conséquence

  • L'application L est injective. Ainsi, en munissant U(\mathfrak{g}) de sa structure naturelle d'algèbre de Lie (en posant [x,y] = xy − yx), \mathfrak{g} peut etre vue comme une sous algèbre de Lie de U(\mathfrak{g}).