Théorème de Newton

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Après avoir découvert la loi universelle de gravitation entre deux points, Isaac Newton s'est penché sur le cas des corps sphériques. Il a apporté deux résultats connus sous le nom de premier et second théorème selon qu'on considéret la force à l'intérieur ou à l'extérieur d'une sphère. Il est rapidement parvenu à démontrer le premier théorème. La démonstration du second théorème lui a échappé durant près de dix ans.

[modifier] Premier théorème

Un corps qui se trouve à l'intérieur d'une couche sphérique de matière ne ressent aucune force gravitationnelle nette de cette couche.

Démonstration

Soit une sphére de matière de densité uniforme. Quelle est sa contribution gravitationnelle au point M de position r ?

Image:Theoremenewton1.pngSoit le cône d'angle solide dΩ de sommet M ; l'axe du cône coupe la sphère en deux points P₁ et P₂ dont les distances à M sont r₁ et r₂. En ces points passent deux plans tangents à la sphère ; ils forment le même angle avec l'axe du cône (Θ₁=Θ₂). On peut s'en rendre compte par de simples considérations géométriques. Ainsi les masses contenues dans dΩ sont proportionnelles au carré des distances soit,

$\frac{\delta m_1}{\delta m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2} \right)^2$

d'où

$- G\frac{\delta m_1}{ r_1^2} = - G\frac{\delta m_2}{r_2}^2$

Donc la particule située en M est attirée par des forces de même intensité mais de directions opposées et la contribution des points P₁ et P₂ est nulle. La somme sur toute la sphère de ces forces donne donc une force globale nulle.

[modifier] Corollaire

Le potentiel à l'intérieur d'une sphère de matière uniforme est constant puisque la force gravitationnelle dérive du potentiel.

$\nabla \Phi(P) = 0 \Rightarrow \Phi(P) = cst$

[modifier] Second théorème

La force gravitationnelle d'un corps qui se trouve à l'extérieur d'une couche sphèrique fermée de matière est la même que ce qu'elle serait si toute la matière de la couche était rassemblée en son centre.

Démonstration

Le mode de calcul précédent n'abouti pas, mais avec une astuce, la démonstration devient simple.

Image:Theoremenewton2.pngSoit deux sphéres de rayon a et r, concentriques et portant la même quantité de matière répartie uniformément. Soient P, Q, P' et Q' des points de ces sphères alignés deux à deux avec leur centre (voir schéma) ; leur position est respectivement P', Q, P' et Q'.

La démonstration consiste à comparer le potentiel en P d'un élément de masse compris dans l'angle solide dΩ autour de Q' avec celui en P' d'un élément de masse en Q dans le même angle solide. Puisque les sphères portent la masse masse, les masses en Q et Q' sont les mêmes et valent

$\delta m = M\frac{d\Omega}{4\pi}$

Alors on a en P

$\delta\Phi(P) = -G\frac{\delta m}{|\mathbf{P} - \mathbf{Q'}|}$

et en P'

$\delta\Phi(P') = -G\frac{\delta m}{|\mathbf{P'} - \mathbf{Q}|}$

Par symétrie les distances |P - Q'| et |P' - Q| sont égales donc les potentiels δΦ(P) et δΦ(P') aussi. En intégrant les deux potentiels sur leur sphère respective, les potentiels globaux le sont aussi. Comme on connait par ailleurs le potentiel à l'intérieur d'une sphère (voir corollaire), on déduit celui de l'extérieur,

$\delta\Phi(P) = -G\frac{M}{r}$

qui ne dépend pas du rayon de la sphère intérieure, a.

[modifier] Applications

Ces deux théorèmes permettent de calculer le potentiel d'un corps à symétrie sphérique à l'extérieur et à l'intérieur du corps, quelle que soit la façon dont la densité de masse varie avec la distance au centre. Cela permet d'étudier les trajectoires d'un corps autour d'une planète, en supposant qu'elle est à symétire sphérique.

[modifier] Références

James Binney & Scott Tremaine, Galactic dynamics, Princeton University Press, coll. « Princeton Series in Astrophysics », 34-36 p. (ISBN 0-691-08445-9)