Théorème de Monge

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de plusieurs variables au niveau d'un point critique (x0,y0) :

On pose :

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}(x_0,y_0)=R
\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)=S
\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}(x_0,y_0)=T

On calcule Δ = S2 − RT.

On distingue alors trois cas :

  • Si Δ < 0 on a alors un extrémum local :
    • si R > 0 c'est un maximum ;
    • si R < 0 c'est un minimum ;
  • Si Δ > 0 on a alors un point selle – ou point col ;
  • Si Δ = 0 il faut alors faire l'étude classique du point critique.