Théorème de Dandelin

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En mathématiques, le théorème de Dandelin, ou théorème belge sur la section conique, démontre l'équivalence entre les deux définitions métriques des coniques (à partir des foyers et de l'excentricité) et leurs définition géométrique (la section d'un cône par un plan).

[modifier] Historique

Apollonius, déjà au III^e siècle av. J.-C., définit les coniques comme étant les formes obtenues en glissant un plan au travers d’un cône dans tous les angles possibles. On peut alors obtenir un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Il leur découvre également des propriétés focales et en définit l'excentricité, mais on a malheureusement perdu les traces de ses œuvres à ce sujet.

L'équivalence entre ces trois propriétés a toujours parue évidente, mais on a éprouvé du mal à les démontrer clairement. C’est le mathématicien belge Germinal Pierre Dandelin qui parvient à le faire, au XIX^e siècle, d’une manière fort élégante. C’est un évènement marquant dans l’histoire de la géométrie, car les études d’Apollonius étaient suffisamment poussées pour que peu de progrès soit fait entre temps.

[modifier] Ellipse

L’ellipse est :

le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes est une constante strictement supérieure à la distance entre les deux points ;
le lieu des points du plan dont le rapport des distances à un point fixe et à une droite ne passant pas par le point est constant et inférieur à 1 ;
un des résultats obtenus par l'intersection d'un cône par un plan.

[modifier] Démonstrations

Soit P un point quelconque de la section conique. Soient également G₁ et G₂ les deux sphères qui sont tangentes au cône et au plan sécant. Leurs intersections avec le cône forment deux cercles nommés k₁ et k₂, et avec le plan deux points nommés F₁ et F₂, le tout respectivement. Les projections de P sur k₁ et k₂ sont nommées P₁ et P₂. Comme PP₁=PF₁ et PP₂=PF₂ (car deux tangentes à un même cercle d'une sphère se coupent en un point situé à distance égale des deux pieds des tangentes), PF₁ + PF₂ = P₁P₂. Or, la distance entre P₁ et P₂ est constante, quel que soit P. En d’autres termes, pour tout point P, PF₁+PF₂ est constant ; et donc, par définition la section conique comprenant P est une ellipse bifocale de foyers F₁ et F₂.

Dandelin a prouvé l’égalité entre ellipse bifocale et ellipse en tant que section conique. Nous pouvons aussi prouver l’égalité avec une ellipse dessinée à partir d’un foyer et d’une directrice.

Pour ce, prenons l’intersection entre le plan de la section et celui du petit cercle k₁. Nous allons démontrer qu’il s’agit de la directrice. Projetons maintenant P sur le plan du petit cercle et nommons ce nouveau point P’. Projetons également P sur la supposée directrice et nommons ce point D. On constate alors que tous les triangles PP’P₁ sont semblables, quel que soit le point P. Ainsi, le rapport entre PP’ et PP₁(=PF₁) est toujours constant. On constate également que les triangles PP’D sont semblables, ce qui veut dire que le rapport entre PP’ et PD est une autre constante. Or nous voulons savoir si DP/PF₁ est une constante, ce qui est maintenant démontré. Les trois définitions de l’ellipse se rejoignent donc.