Théorème de Castigliano

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Le théorème de Castigliano (du nom de Carlo Alberto Castigliano) est à la base de nombreuses méthodes de calcul des efforts en résistance des matériaux. Il repose sur une relation énergétique et permet un calcul relativement simple des grandeurs spécifiques (efforts ou déplacements) cherchées.

[modifier] Premier énoncé de Castigliano

La dérivée partielle du travail des forces extérieures par rapport à une force est égale au déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cette force. Ainsi la dérivée partielle du travail des forces extérieures par rapport à un couple (mécanique) détermine la rotation de la poutre au droit de la section où s'applique ce couple.

$\frac{\partial U}{\partial q_i} = Q_i$ avec $i = 1,..., n$

$q i$ ... déplacements généralisés

$Q i$ ... forces généralisées

$U = U (q 1,..., q n)$ ... énergie élastique (énergie de déformation)

[modifier] Second énoncé de Castigliano

$\frac{\partial U^{*}}{\partial Q_i} = q_i$ avec $i = 1,..., n$

$q i$ ... déplacements généralisés

$Q i$ ... forces généralisées

$U * = U * (Q 1,..., Q n)$ ... énergie interne, dite énergie complémentaire de déformation

[modifier] Énoncé de Menabrea

Le second énoncé de Castigliano peut également être mis à profit pour le calcul d'efforts hyperstatiques. La forme particulière sous laquelle on l'utilise alors prend le nom d'équation de Menabrea .

$\frac{\partial U^*}{\partial X_i} = 0$ avec $i = 1,..., n$

$X i$ ... inconnues hyperstatiques (qui ne « travaillent » pas) $U * = U * (X 1,..., X n)$ ... énergie interne, dite énergie complémentaire de déformation

[modifier] Bibliographie

Castigliano, Carlo Aberto: Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879.
Jean Salençon Mécanique des milieux continus vol. 2 (1989) éd. Ellipses, ISBN 2-7302-0195-5
J.-P. Henry, E. Parsy Cours d'élasticité (1982), éd. Dunod, ISBN 2-04-010814-9
J. Goulet, J-P. Boutin - Résistance des matériaux (1998), éd. Dunod-Université, ISBN 2-10-004158-4