Théorème de Buckingham
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En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle.
Sommaire |
[modifier] Énoncé
Une équation physique complète, de la forme générale…
où les qi représentent n variables physiques choisies pour la description du problème, exprimées en terme de k unités physiques indépendantes, peut être réécrite sous la forme:
où les πi sont des nombres sans dimension construits à partir des qi par p = n − k équations de la forme:
où les mi sont des constantes.
[modifier] Démonstration de la 3e loi de Kepler
Le théorème de Buckingham suppose grossièrement que toutes les lois de la physique restent valables quelle que soit l'échelle utilisée, c'est-à-dire en particulier même après un étirement des longueurs et du temps.
Supposons donc que l'on étire les longueurs (notées r) de α et le temps (noté t) de β. On pose alors
et .
Soient une particule fixe de masse M et une particule mobile de masse m (m < < M) soumise uniquement à la force gravitationnelle de la particule de masse M. En écrivant le principe fondamental de la dynamique selon un axe reliant le centre des deux particules, on a:
D'après le théorème de Buckingham, on devrait avoir également
Soit en remplaçant:
Soit nécessairement :
pour obtenir l'équation initiale.
On retrouve alors bien la troisième loi de Kepler (β étant associé au temps et α aux longueurs).
[modifier] Références
- Buckingham, E. (1914) Phys. Rev. 4, 345-376. Et une généralisation de ce théorème dans le cas de classes de problèmes où certaines variables sont fixes : [1]